Alternative Vorgehensweise:

Zuerst umschreiben: \(f(x)=8(2x+1)^{-3}\)

Und hier liegt ja eine Verkettung vor. Kettenregel beim "Aufleiten" erkläre ich gerne mit: "Äußere Aufleitung durch innere Ableitung". Das gilt allerdings nur, wenn die innere Funktion (das ist hier die Basis der Potenz, also der Term in der Klammer) eine lineare Funktion ist, so wie hier.  

Äußerlich ist es eine Potenz (Klammer hoch -3), bei der äußeren Aufleitung greift also die Potenzregel. Und die äußere Aufleitung muss man durch die innere Ableitung teilen, also durch die Ableitung der Basis, hier 2. Das sieht dann so aus:

\( F(x)=\frac{8\cdot (-\frac{1}{2})\cdot(2x+1)^{-2}}{2}=\frac{-4\cdot(2x+1)^{-2}}{2}=-2\cdot(2x+1)^{-2}=-\frac{2}{(2x+1)^{2}}\)

Nachvollziehbar? :-)

Substituiere u = 2x + 1 

und dann integrieren mit der Potenzregel

(u ^n+1)/ n+1 

Dann rücksubstuieren.