Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Beweis

Aufrufe: 842     Aktiv: 21.07.2020 um 10:47
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Kann mir jemand bei folgendem Beweis weiterhlefen? Ich weiß nicht was ich hier machen muss um das zu zeigen:

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Habe noch keine konkreten Funktionen ausprobiert. Klar ist ja, dass wenn f stetig ist und nicht differenzierbar, dann kann fg(x) nicht überall differenzierbar sein. Hier soll aber nicht ein Beispiel dafür gefunden werden sondern ein allgemeiner Beweis. Meine Überlegung war ein Wiederspruchsbeweis. Wenn man zeigen möchte das in jedem Fall fg(x) differenzierbar ist, dann wird man auf einen Wiederspruch stoßen und dann hat man ja gezeigt, dass sie nicht überall differenzierbar sein kann. Oder sehe ich das falsch?   ─   freakbob999 19.07.2020 um 20:09
Für einen Wiederspruchsbeweis benötigt man natürlich ein Beispiel. Es war nur eine Überlegung, das wenn f nicht differenzierbar ist dann kann fg nicht überall differenzierbar sein. Das muss ja noch gezeigt werden. Aber wie gehe ich dabei jetzt vor?   ─   freakbob999 19.07.2020 um 20:27
Okay danke. Wie gesagt das war nur meine Anfangsvermutung. Kannst du mir das vielleicht an einem Beispiel zeigen wie ich das beweisen kann?   ─   freakbob999 19.07.2020 um 20:40
Okay. Für f könnten man z.B. die Betragsfunktion wählen oder einfach die Wurzelfunktion mit sqrt(x). Die sind beide an der Stelle x0 nicht differenzierbar. Für g kann man dann z.B. die Funktion x^3 nehmen, die ist differenzierbar   ─   freakbob999 19.07.2020 um 21:19
Na klar das ist natürlich noch einfacher :D. Wenn man sich jetzt das Produkt der beiden Funktionen betrachtet also fg wäre die Funktion ja gleich f(x). Und somit nicht überall differenzierbar. Oder ?(Also bei g(x)=1)   ─   freakbob999 19.07.2020 um 21:53
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Genau so ist es. Für die Lösung aber dann schon ein konkretes f angeben (Betragsfunktion ist gut, Wurzel hat ja die schlechte Stelle am Rand, das ist nicht so schön). Deshalb bei sowas immer ganz einfache Funktionen probieren. Wenn es damit nicht geht, kann man immer noch kompliziertere nehmen. Übrigens zeigt das Beispiel g(x)=0 konstant, dass f*g durchaus doch überall diffbar sein kann.
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