Mehrfachintegration

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Hallo,

ich habe hier folgende Aufgabe vor mir:

Ich weiß nicht genau, was ich hier machen muss. Mein Ansatz war, u,v,w mithilfe der gegebenen Transformation in Abhängigkeit der kartesischen Koordinaten darzustellen. Allerdings kriege ich es nicht hin, dass kein u,v,w mehr drin steht. Also z.B. hätte ich gesagt u = x-2v, aber da kann ich das v nicht mehr sinnvoll ersetzen. Dann hätte ich von den Ausdrücken die Jakobideterminante berechnet und dann brauch ich ja noch neue Grenzen (wie bekomme ich die?) 

Ich denke mein Ansatz ist falsch, deswegen brauche ich Hilfe.

Vielen Dank im Voraus!

gefragt 6 Tage, 6 Stunden her
tab4mahir
Punkte: 86

 
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1 Antwort
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Ich verstehe die Aufgabe so: Gegeben seien \(U:=(0,1)\times(1,2)^2\) und \(\psi\colon U\to\mathbb{R}^3\) mit \[\psi(u,v,w):=\pmatrix{u+2v\\ 2u+w^2\\uv}.\] Berechnet werden soll \[\mathrm{vol}_3(\psi(U))=\int_U|\det J_\psi(u,v,w)|\,\mathrm{d}(u,v,w) = \int_0^1\int_1^2\int_1^2|\det J_\psi(u,v,w)|\,\mathrm{d}w\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u.\] Die Formel am Schluss gilt so aber nur, falls \(\psi\) ein Diffeomorphismus zwischen \(U\) und \(V:=\psi(U)\) ist. Dass die Jacobimatrix in \(U\) überall invertierbar ist, kann man leicht prüfen. Man muss jetzt noch zeigen, dass \(\psi\) injektiv ist. Dazu muss man ein nichtlineares Gleichungssystem lösen. Du hast das schon versucht, um die Umkehrabbildung zu berechnen, das ist ganz ähnlich. Probiere das noch mal, ist nicht ganz einfach. Das Bild von \(\psi\) brauchst du aber eigentlich nicht zu berechnen, wie die Formel oben zeigt.

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geantwortet 5 Tage, 19 Stunden her
slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 2.91K
 

Hallo,

vielen Dank für die Antwort! Also ich glaube das schießt ein bisschen über das hinaus, was wir bisher gemacht haben.
Die Aufgabe ist tatsächlich relativ langweilig, da hatte ich einfach nur einen Denkfehler. Man muss tatsächlich nur die Jakobideterminante der angegebenen Transformationen bestimmen und in den gegebenen Grenzen integrieren.

Trotzdem vielen Dank für die Hilfsbereitschaft und ich denke ein bisschen Wissen über den normalen Stoff hinaus schadet auch nicht!

LG
  ─   tab4mahir 5 Tage, 12 Stunden her

:)   ─   slanack 5 Tage, 12 Stunden her
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