Hallo,

für Achsensymmetrie an der \(y\)-Achse muss 

$$f(x)=f(-x)$$

und für Punktsymmetrie um den Ursprung muss

$$f(x)=-f(-x)$$

gelten. Das kannst du einfach nachprüfen. Für a) gilt:

$$f(-x)=(-x)^4+3(-x)^2+1=(-1)^4x^4+(-1)^2\cdot3x^2+1=x^4+3x^2+1=f(x).$$

Für b) gilt:

$$-f(-x)=-\bigl((-x)^5-1\bigr)=-1\cdot(-x)^5+1=(-1)^6x^5+1=x^5+1\neq x^5-1=f(x)$$

Die Funktion ist also nicht punktsymmetrisch um den Ursprung. Allerdings punktsymmetrisch um den Punkt \((0|-1)\), was man durch eine Verschiebung zeigen kann.

Wenn du dich nur für Achsensymmetrie an der \(y\)-Achse und Punktsymmetrie im Ursprung interessierst, dann hilft die einfache Regel:

Gerade Potenzen beim \(x\) ist achsensymmetrisch, ungerade Potenzen beim \(x\) ist punktsymmetrisch und gemischte Potenzen sind keins von beidem.

Bei der b) hast du \(x^0\) und \(x^5\), also gerade und ungerade gemischt, also keine der beiden genannten Symmetrien! :)