Stochastisches Rätsel: ein Millionär verschickt 20 Briefe

Erste Frage Aufrufe: 658     Aktiv: 17.01.2021 um 00:06
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Problem:

Ein skurriler Millionär schickt an 20 intelligente Personen einen Brief:

Sie können nun entscheiden,  ob Sie an mich einen Brief schicken oder nicht. Falls genau ein Brief bei mir ankommt, schenke ich dem Absender eine Millionen Euro. Falls kein Brief mich erreicht oder mehr als einer, so erhält niemand etwas von mir. Sie dürfen natürlich keinen Kontakt zu den anderen  19 aufnehmen. 

Soll man nun abschicken oder nicht ?

 

Meiner Meinung nach ist es egal ob man den Brief nun abschickt oder nicht, da die Gewinnwahrscheinlichkeit bei beiden Null ist, weil es immer eine geldgierige Person geben wird, welche den Brief auch abschicken wird. Es gibt also keine Strategie oder ähnliches. Ich habe bestimmt Denkfehler.

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out of jeglicher Mathematik würde ich deiner Denke entgegenhalten: ich schicke ab, denn falls alle intelligenten Menschen an den einen geldgierigen glauben, bekommt ja keiner was. Nur, wenn ich reagiere habe ich eine Chance, dass alle anderen das nicht tun. Ich nehme damit zwar einem anderen die Gewinnmöglichkeit aber das kann mir ja egal sein.   ─   monimust 16.01.2021 um 18:16
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Wenn ich diesen Ansatz verfolge würde bestimmt noch jemand auf eine solche Idee kommen. Die einzige Lösung, welche ich sehe, wo eine Person wirklich eine Chance auf die eine Millionen Euro hat, wäre wenn jede Person mit einem 20-seitigen Würfel zur Postfiliale zu gehen würde dem Mitarbeiter eine Zahl zwischen ein und zwanzig nennen würde, den Brief & den Würfel überreichen würde, und den Brief nur unter der Bedingung los zusicken wenn er die Zahl mit dem Würfel würfelt, damit wäre, vorausgesetzt alle Personen machen das so, der Erwartungswert bei 1, die Wahrscheinlichkeit selber zu gewinnen bei 1/20 und die Wahrscheinlichkeit dass überhaupt eine Person gewinnt, nach Binomialverteilung, bei 37,7%.
Man würde so theoretisch auch Geldgirigkeit ausspielen, da der Brief in den Händen des Postboten liegt und man keinerlei Verantwortung mehr hat. Des Weiteren sind es alle intelligente Personen so hätte jeder die gleichen Chancen. Ich hoffe das ist jetzt richtig   ─   bauerknecht 16.01.2021 um 19:00
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ich glaube man kann das auch spieltheoretisch betrachten, was ich vor allem darauf zurück führen würde, dass dort "Intelligente" steht und sich die Spieltheorie meines Wissens nach immer mit rationalen (also vernünftig begründeten) Entscheidungen befasst. Hier mal ein Video zu einem ähnlichen Problem: https://www.youtube.com/watch?v=8l65QR9C97g&feature=emb_logo
Es gibt auch noch ein Video mit der Auswertung. Hier geht es immer darum, dass man die anderen einschätzen muss, wenngleich auch die einen selbst und auch die anderen einschätzen müssen. Und jede unabhängige Entscheidung Grundlage der selben Entscheidung ist, die auch für sie Grundlage ist.... Falls es sich hier aber um eine klassische Schulrechenaufgabe handelt, ist dieser "psychologische", spieltheoretische und fast schon philosophische Ansatz aber wohl nicht gefragt. Was meinst du?   ─   derpi-te 16.01.2021 um 19:18
Ich höre das jetzt zum ersten Mal, aber das sieht an sich wirklich sehr interessant aus. Ich denke aber das es hier eher als Schulrechenaufgabe gemeint ist. Der Professor meinte dass wir das mit den Mitteln der Vorlesung lösen können und wir hatten bis jetzt nur klassische Wahrscheinlichkeit bis zu Verteilungfunktionen.   ─   bauerknecht 16.01.2021 um 19:40
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Weitere, die bei der Post ankommen, können nicht mehr alle Zahlen wählen, der letzte hat nur eine Möglichkeit. Dann kann man auch gleich einen auslosen.   ─   monimust 16.01.2021 um 19:53
Ich konnte die letzten zwei Kommentare leider nicht lesen. Kann mir vlt jemand mitteilen was diese aussagen?   ─   bauerknecht 16.01.2021 um 22:02
einen habe ich gelesen, darauf geantwortet, dann war er weg , meine Antwort habe ich dann auch wieder gelöscht   ─   monimust 16.01.2021 um 22:07
Ok, wurde in dem Kommentar noch irgendwas hilfreiches gesagt?   ─   bauerknecht 16.01.2021 um 22:15
war eine Variation des Einsatzes des 20seitigen Würfels   ─   monimust 16.01.2021 um 22:18
ich denke, dass dieses kein Kontakt der Empfänger untereinander ausschließt, dass z.B. alle zur gleichen Post gehen oder sonstiges. vermutlich muss jeder für sich alleine entscheiden und da alle intelligent sind kommen sie zur gleichen Entscheidung   ─   monimust 16.01.2021 um 22:21
Kurzer Einschub: Falls du in deiner Vorlesung des Rätsel Lösung mal lüftest, fände ich es nett und interessant wenn du sie hier mitteilst, da ich jetzt auch schon etwas am grübeln bin... danke!
naja, Aber vllt fällt jemandem (oder auch mir ;)) ja noch was fruchtbares ein ...   ─   derpi-te 16.01.2021 um 23:03
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Hinweis: Mit deinem Kommentar, dass diese Aufgabe mit Mitteln eurer Vorlesung zu lösen sei, denke ich das folgendes die erwünschte Lösung ist.

 

Da alle Personen intelligent/rational sind und sich nicht absprechen können, werden alle dasselbe tun. Die Erfolgschance für simples Brief abschicken oder Brief nicht abschicken ist demnach Null.

D.h. ein Einzelner schickt den Brief mit einer Wahrscheinlichkeit \(p \in (0,1)\) ab. Wieder mit der Annahme, dass alle Personen gleiches \(p\) wählen (->intelligent u. unabhängig) beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit \(P = p(1-p)^{19}\).

Optimiert wird \(P\) durch \(p=\frac{1}{20}\), damit wird jeder Einzelne den Brief mit einer Wahrscheinlichkeit von \(5\%\) abschicken.

 

Siehe auch: https://www.wias-berlin.de/people/koenig/www/Paradoxa.pdf (S.13)

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Quelle https://www.wias-berlin.de/people/koenig/www/Paradoxa.pdf Das Gladiatorenparadoxon I ?   ─   monimust 16.01.2021 um 23:41
Ok danke für deine Antwort leider versteh ich die nicht so ganz, wie kommst du auf die Formel für groß P und wie kommt man davon dann auf klein p?   ─   bauerknecht 16.01.2021 um 23:45
Formel für \(P\): Jemand gewinnt, wenn eine Person den Brief abschickt (Wahrscheinlichkeit \(p\)) und 19 Personen den Brief nicht abschicken (Wahrscheinlichkeit \(1-p\), damit beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit \(p\cdot(1-p)^{19}\).
Das optimale \(p\) kannst du z.B. mittels \(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}p} = 0\) bestimmen.   ─   posix 16.01.2021 um 23:57
@monimust so halb, hatte das schon so selber überlegt (übrigens ausgehend von deinem obigem Kommentar :-) ), dann aber nochmal das Internet nach einer Lösung durchforstet, um sicherzugehen, dass das sinnvoll ist. Hat aber jetzt schon eine gewisse Ähnlichkeit, da hast du recht...ich pack mal den Link mit in die Antwort.   ─   posix 17.01.2021 um 00:04

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