Hallo,
die Bedingungen für ein stationäres Extremum lauten: \(f'(x)=0\) und \(f''(x)\neq 0\).
Leitest du deine Funktionenschar ab, erhältst du:
\(f_a\, '(x)= \dfrac{x}{4}(8a+x),\: f_a\, ''(x)=\dfrac{1}{2}(4a+x)\)
Damit sich das lok. Extremum nun bei \(x=2\) befindet, muss gelten: \(f_a(2)=0\).
Eingesetzt und umgeformt:
\(\dfrac{2}{4}(8a+2)=0 \Leftrightarrow 4a+1=0 \Longrightarrow a_1=-\dfrac{1}{4}\).
Setzen wir diesen Wert in die 2. Ableitung ein, erhalten wir:
\(f_{-0.25}\, ''(2)=\dfrac{4\cdot (-0.25)+2}{2}=0.5 \neq 0\)
Somit besitzt die Funktion \(f_{-0.25}(x)\) an der Stelle \(x=2\) ein lokales Extremum.
Hier noch einmal grafisch:
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16.5K