Muss es unbedingt PBZ sein? Es geht viel einfacher ohne.
Merke: Bei rationalen Funktionen erstmal prüfen, ob die Ableitung vom Nenner im Zähler steht (dann nämlich schreibt man die Stammfunktion direkt hin, mi ln, oder notfalls substituiert man den Nenner).
Wenn es PBZ sein soll, dann geht das aber ganz normal über Nullstellen suchen, faktorisieren usw. Sind in diesem Fall etwas krumme Nullstellen, daher einiges zu rechnen. Das video kenne ich nicht, warum sollte das nicht anwendbar sein?
Es gibt sicher unzählige weitere Videos im Internet dazu sowie Skripten, in denen das erklärt wird.

Du kannst ganz normal Partialbruchzerlegung machen.  Bestimme zuerst die Nullstellen $x_1,x_2$ des Nenners. Dein Ansatz ist dann $$\frac{2x+1}{2x^2+2x-1}=\frac12\left(\frac A{x-x_1}+\frac B{x-x_2}\right)$$ und durch Multiplikation mit dem Nenner und anschließendem Koeffizientenvergleich oder Einsetzen von Punkten und Lösen des Gleichungssystems kannst du die Werte von $A$,$B$ bestimmen.