Puuh ja, eigentlich sehr logisch... Alle Beweise, die mir einfallen sind auch eher formell:

Sei $x \in \mathfrak{P}(A)$.

$\rightarrow \quad \exists a_{1},a_{2},... \in A: \quad a_{1} \cup a_{2} \cup ... = x$

$A=B \quad \rightarrow \quad a_{1},a_{2},... \in B$

$\rightarrow \quad x= a_{1} \cup a_{2} \cup ... \in \mathfrak{P}(B)$

Analog die Gegenrichtung.

$\forall x \in \mathfrak{P}(A): \quad x \in \mathfrak{P}(B)$

$\forall y \in \mathfrak{P}(B): \quad y \in \mathfrak{P}(A)$

$\rightarrow \quad \mathfrak{P}(A) = \mathfrak{P}(B)$

q.e.d.

So vielleicht? Ist halt ein klassischer hin- und herschieb Mengenbeweis...