Beweis einer Mengengleichung/Mengenäquivalenz

Erste Frage Aufrufe: 1131     Aktiv: 25.09.2019 um 14:59

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Gegeben seien die Mengen A und B.

Ich soll nun beweisen oder widerlegen, dass, wenn A=B, auch P(A)=P(B) (also die Potenzmenge von A und B) gelten muss. Auf den ersten Blick scheint mir das zwar offensichtlich und logisch, da die Teilmengen von A und B nur gleich sein können, wenn A und B die selben Elemente enthalten und die Reihenfolge spielt in der Mengenlehre ja keine Rolle. Ich weiß nun jedoch nicht, wie ich das konkret mathematisch beweisen kann.

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Puuh ja, eigentlich sehr logisch... Alle Beweise, die mir einfallen sind auch eher formell:

Sei \( x \in \mathfrak{P}(A) \).

\( \rightarrow \quad \exists a_{1},a_{2},... \in A: \quad a_{1} \cup a_{2} \cup ... = x \)

\( A=B \quad \rightarrow \quad a_{1},a_{2},... \in B \)

\( \rightarrow \quad x= a_{1} \cup a_{2} \cup ... \in \mathfrak{P}(B) \)

Analog die Gegenrichtung.

\( \forall x \in \mathfrak{P}(A): \quad x \in \mathfrak{P}(B) \)

\( \forall y \in \mathfrak{P}(B): \quad y \in \mathfrak{P}(A) \)

\( \rightarrow \quad \mathfrak{P}(A) = \mathfrak{P}(B) \)

q.e.d.

 

So vielleicht? Ist halt ein klassischer hin- und herschieb Mengenbeweis...

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Ah, okay, dann habe ich es immerhin halbwegs richtig erklärt, aber mit der formalen Erklärung hatte ich leider Schwierigkeiten, vielen Dank dafür : )   ─   daynal 25.09.2019 um 14:59

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