Sei \(x\in D\). Da \(D\) offen ist, gibt es \(y,z\in D\) mit \(y<x<z\). Für alle \(u\in D\) mit \(y<u<z\) und \(u\neq x\) folgt dann $$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\leq\frac{f(u)-f(x)}{u-x}\leq\frac{f(z)-f(x)}{z-x}.$$ Versuche die beiden Ungleichungen zu zeigen. Unterscheide dazu \(u>x\) und \(u<x\) und schreibe  für jede der Ungleichungen immer die mittlere der drei Variablen als Linearkombination der anderen, verwende dann die Konvexität. Sei \(L\) das Maximum von \(\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\) und \(\left|\frac{f(z)-f(x)}{z-x}\right|\). Dann gilt mit der obigen Ungleichung für alle \(u\in D\) mit \(y<u<z\), dass \(|f(u)-f(x)|\leq L|u-x|\) und daraus folgt die Stetigkeit.