Als erstes schreibe ich die gegebene Funktion erneut auf, und distributiere das 1/4 in die Klammer, um die weiteren Schritte übersichtlicher zu behalten. Es ist egal, ob du 1/4 zu u oder zu v hinzunimmst, da es sich bloß um eine Konstante handelt. Probiers aus! :)

Die Produkt- sowie Kettenregel habe ich nochmal deutlich gemacht, zum besseren Verständnis. Am Ende der Ableitung kann man e^(2x) ausklammern. Selbst wenn hier noch weitere "Vereinfachungen" möglich wären, habe ich für dieses Beispiel darauf verzichtet.

Sind die Extrempunkte gesucht, möchte man Stellen finden, an welchen die Steigung - also f'(x), genau 0 beträgt. Das sind dann Hoch- oder Tiefpunkte. Also wird die erste Ableitung null gesetzt. e^(2x) kann niemals null werden, nähert sich für -Unendlich bloß asymptotisch der 0, erreicht sie also nie. Das sieht man auch, wenn man durch e^(2x) dividiert, es verschwindet einfach.

Ist eine schöne Angabe, da sich nach dem Multiplizieren mit 4 und dem anschließenden Dividieren mit 2 direkt eine perfekte quadratische Gleichung ergibt, welche mit der "kleinen" - also der p-q - Formel gelöst werden kann. Die p-q funktioniert immer dann, wenn der Faktor von x^2 gleich 1 ist.

Einsetzen, und ausrechnen. Auch hier ergibt die Diskriminante wieder einen Bruch, womit sehr einfach zu rechnen ist. -2 sowie 1 sind also die gesuchten Extremstellen.

Mit der zweiten Ableitung, also der Krümmung, kannst du jetzt herausfinden, welche davon Hoch- und Tiefpunkte sind.

Ich hoffe ich konnte dir helfen! :).