Dichte einer Zufallsvariable \(Y := \frac{1}{X}\)

Aufrufe: 735     Aktiv: 18.08.2020 um 17:39
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Sei \(X > 0 \) eine Zufallsvariable mit Dichtefunktion \(f_X\) und sei \(Y := \frac{1}{X}\). Bestimme die Verteilungsfunktion \(F_Y(t)\)  und die Dichtefunktion \(f_Y(t), t > 0\) von \(Y\) in Abhängigkeit von \(F_X\) und \(f_X\).

Wie würde man eine solche Aufgabe lösen?

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Also ich würde erstmal die Verteilungsfunktion herleiten.

\(F_Y(t)=P(Y\leq t)=P(\frac{1}{X}\leq t)=P(\frac{1}{t}\leq X)=1-F_X(\frac{1}{t})\).

Die Dichtefunktion erhält man dann durch ableiten der Verteilungsfunktion. In dem Fall muss man halt einmal die Kettenregel anwenden und erhält dann

\(f_Y(t)=\frac{f_X(1/t)}{t^2}\)

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