Für die Reihe

\( A(x) = \dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{8}x^{4}+\dfrac{3}{48}x^{6}+\dfrac{15}{384}x^{8}+\dfrac{105}{3840}x^{10}+...\)

möchte ich die Reihensumme für ein beliebiges 0 < x < 1 berechnen.
Die Reihe konvergiert für |x| < 1 .

Auf den ersten Blick handelt es sich wohl um keine geometrische oder eine ähnliche bekannte Reihe.

Nach mehrfachem Ausklammern lässt sich interessanterweise das Bildungsgesetz für die Reihe wie folgt erkennen:

\( A(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} \cdot (1+\dfrac{1}{4}x^{2} \cdot (1+\dfrac{3}{6}x^{2} \cdot (1+\dfrac{5}{8}x^{2} \cdot (1+\dfrac{7}{10}x^{2} \cdot 1+ ... )))) \)

Die Zähler der Koeffizienten von \( x^{2} \) sind ungerade Zahlen in aufsteigender Folge, die dazugehörigen Nenner der Koeffizienten gerade Zahlen in aufsteigender Folge, also man setzt für den Zähler (2n-1) und für den Nenner 2(n+1).

Es ist also ein geschachtelter Klammerausdruck, sozusagen ein rekursives Produkt.
Das Ganze sieht fast aus wie ein "umgekehrter" Kettenbruch. :-)


Meine Frage ist nun folgende:
Lässt sich aus dieser Konstruktion eine explizite Formel für den Reihenwert erstellen, etwa so wie bei der geometrischen Reihe?