Hallo!
Es gilt
\(\displaystyle \left\vert\frac{x}{k(1+kx^2)}\right\vert = \left\vert\frac{x}{k+k^2x^2}\right\vert < \left\vert\frac{x}{k^2x^2}\right\vert = \frac{1}{\vert x\vert}\cdot\frac{1}{k^2} \).
Da die \(\displaystyle \zeta(2)\) Reihe gleichmäßig konvergiert, so gilt nach dem Weierstraßschen Majorantenkriterium, dass auch Deine Ursprungsreihe gleichmäßig konvergiert, und zwar für alle reellwertigen \(\displaystyle x\) (die Ursprungsreihe erlaubt \(\displaystyle x=0\), dann konvergiert die Reihe gegen \(\displaystyle 0\). Für \(\displaystyle x=1\) gegen 1 usw.).
Gruß.
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Vielen dank schonmal. Eine Frage hätte ich aber noch: Woher weiß ich , dass \( \frac{1}{\vert x\vert}\cdot\frac{1}{k^2} \) gleichmäßig konvergiert?
─ joline 17.06.2019 um 11:53