Über den Grenzwert der Obersummen kann man den Flächeninhalt unter jeder ("integriebaren") Funktion bestimmen. Das tatsächliche Ausrechnen des Grenzwertes an sich könnte nur schwerer werden.

Vielleicht als Beispiel: Die Bestimmung des Flächeninhalts unter der Funktion \( e^x\) auf dem Intervall \( [0,1] \)  (bei einer äquidistanten Teilung) erfolgt durch Ausrechnen des Grenzwert
\[ \lim _{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} e^{\frac kn} \cdot \frac 1n . \]
Das ist eine geometrische Reihe und man kommt nach Anwenden der Regel von L'Hospital auf den Grenzwert \( e-1\) . Also ist \( \int_0^1 e^x \, dx = e-1 \) .

Zu deiner zweiten Frage: Das bestimmte Integral einer Funktion \( \mathbb R \to \mathbb R\) kann man sich als Flächeninhalt unter dem Graphen vorstellen. Es gibt aber auch noch andere physikalische Interpretationen. Bewegt sich zum Beispiel ein Auto zum Zeitpunkt \( t \) mit einer Geschwindigkeit \( v(t) \) . Dann entspricht das Integral
\[ \int _{t_0}^{t_1} v(t) \, dt \]
dem zurück gelegtem Weg in dem Zeitintervall \( [t_0 ,t_1] \) .