Das Verfahren ist nicht ganz richtig notiert. Wenn es um die Dgl \(x' = f(t,x)\), so lautet es
\( x_{k+1} = x_k + h\,f(t_{k+1}, x_{k+1}).\)
mit der einzigen Unbekannten \(x_{k+1}\). Also eine Gleichung, eine Unbekannte. Hier muss man nicht Newton benutzen, sondern kann auch jedes andere Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen verwenden, insb. ableitungsfreie.
Man sucht dann die Nullstellen von
\( g(u ) = u - x_k - h\,f(t_{k+1}, u)\)
Einfacher ist die Fixpunktiteration für \(g(u):= x_k + h\,f(t_{k+1}, u)\)
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