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Du kannst einfach \(y=\tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\) benutzen und für die hyperbolsichen Funktionen \(\sinh(x)=\dfrac{1}{2} (e^x-e^{-x})\) und \(\cosh(x)=\dfrac{1}{2} (e^x+e^{-x})\) einsetzen. Dann erhälst du ja
\(y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
Wenn du nun den artanh bestimmen willst, bildest du also einfach die Umkehrfunktion indem du \(x\) und \(y\) tauschst und nach \(y\) umstellst. Als Tipp für einen Ansatz zum umstellen nach \(y\), erweitere den Bruch mit \(e^y\). Also:
\(x=\dfrac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}=\dfrac{(e^y-e^{-y})\cdot e^y}{(e^y+e^{-y})\cdot e^y} =\ldots\)
Versuche es von dort an erstmal alleine weiter. Wenn du nicht mehr weiter weist, dann sag bescheid.
Hoffe das hilft weiter.
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maqu
Punkte: 8.84K
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Ok danke für die schnelle Antwort. Ich versuchs mal.
─
wurzelbehandlung
21.01.2021 um 14:44
Ich habe den Term soweit wie es ging vereinfacht und folgendes rausbekommen:
(e^y - e^-y) / (e^y + e^-y)
Ich muss jetzt ehrlich gesagt zugeben, dass ich nicht mehr weiterkomme.
Tut mir leid für die schlechte Formatierung. Den LaTeX Code konnte ich hier leider nicht einfügen. ─ wurzelbehandlung 21.01.2021 um 19:03
(e^y - e^-y) / (e^y + e^-y)
Ich muss jetzt ehrlich gesagt zugeben, dass ich nicht mehr weiterkomme.
Tut mir leid für die schlechte Formatierung. Den LaTeX Code konnte ich hier leider nicht einfügen. ─ wurzelbehandlung 21.01.2021 um 19:03
in meiner Antwort habe ich dir noch einen Tipp gegeben, wie man diesen Bruch geschickt erweitern kann ;) ... mache das mal und wenn du dann immer noch nicht weiter weist, schauen wir weiter :)
─
maqu
21.01.2021 um 19:25
das habe ich ja eigentlich gemacht und bin genau auf dieses ergebnis gekommen :/ wenn das falsch sein sollte, wüsste ich nicht, wie es sonst aussehen sollte.
─
wurzelbehandlung
21.01.2021 um 19:52
Ok ne da hast du was falsch .... ich geb mal ein paar mehr Hinweise. Es ist:
\(x=\dfrac{(e^y-e^{-y})\cdot e^y}{(e^y+e^{-y})\cdot e^y}=\dfrac{(e^y)^2-1}{(e^y)^2+1}\)
Nun muliplizierst du die Gleichung mit Nenner und erhälst:
\(x\cdot\left( (e^y)^2+1\right)=(e^y)^2–1\)
Jetzt ausklammern, alle nicht-e-Terme auf die rechte Seite und alle e-Terme auf die linke Seite bringen ... dann klammerst links \((e^y)^2\) aus und dann solltest du den Rest schaffen 😅👍 wenn nicht sag natürlich Bescheid ─ maqu 21.01.2021 um 20:13
\(x=\dfrac{(e^y-e^{-y})\cdot e^y}{(e^y+e^{-y})\cdot e^y}=\dfrac{(e^y)^2-1}{(e^y)^2+1}\)
Nun muliplizierst du die Gleichung mit Nenner und erhälst:
\(x\cdot\left( (e^y)^2+1\right)=(e^y)^2–1\)
Jetzt ausklammern, alle nicht-e-Terme auf die rechte Seite und alle e-Terme auf die linke Seite bringen ... dann klammerst links \((e^y)^2\) aus und dann solltest du den Rest schaffen 😅👍 wenn nicht sag natürlich Bescheid ─ maqu 21.01.2021 um 20:13
Tut mir leid, was Mathe angeht bin ich glaube ein hoffnungsloser Fall >.<
Hoffentlich ist es diesmal richtig. Ich habe jetzt also auf die eine Seite alle e-Terme und auf die andere Seite x gebracht:
x = ((e^(y))^(2)-1) / ((e^(y))^(2)+1)
─ wurzelbehandlung 21.01.2021 um 20:40
Hoffentlich ist es diesmal richtig. Ich habe jetzt also auf die eine Seite alle e-Terme und auf die andere Seite x gebracht:
x = ((e^(y))^(2)-1) / ((e^(y))^(2)+1)
─ wurzelbehandlung 21.01.2021 um 20:40
Ne dann machst du den Schritt ja rückwärts🤪 klammere \(x\cdot \left((e^y)^2+1\right)\) aus! ... dann Terme mit e von rechts nach links und Terme ohne e von links nach rechts ... du willst die Gleichung doch nach y umstellenund nicht nach x!
─
maqu
21.01.2021 um 21:03
x*((e^(y)) ^(2)) - (e^(y)) ^(2) = -x-1
Ich glaube diese Aufgabe übersteigt aktuell meine Fähigkeiten. (,_,)
Wäre es vielleicht möglich, dass du mir die restlichen Schritte hinschreibst? Auf diese Weise könnte ich wahrscheinlich am besten lernen wie es funktioniert. ─ wurzelbehandlung 21.01.2021 um 21:36
Ich glaube diese Aufgabe übersteigt aktuell meine Fähigkeiten. (,_,)
Wäre es vielleicht möglich, dass du mir die restlichen Schritte hinschreibst? Auf diese Weise könnte ich wahrscheinlich am besten lernen wie es funktioniert. ─ wurzelbehandlung 21.01.2021 um 21:36
:D Ok pass auf, also:
\(x \cdot (e^y)^2-(e^y)^2=-1-x \quad \Leftrightarrow \quad (e^y)^2 \cdot (-1+x)=-(1+x) \quad \Leftrightarrow \quad (e^y)^2 (1-x)=1+x =\quad \Leftrightarrow \quad (e^y)^2=\dfrac{1+x}{1-x} \quad \Leftrightarrow \quad e^y=\pm \sqrt{\dfrac{1-+x}{1-x}}\)
Da die e-Funktion immer positiv ist, reicht es die positive Wurzel für die weitere Betrachtung heranzuziehen:
Es gilt weiter:
\(e^y=\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \quad \Leftrightarrow \quad \ln(e^y)=\ln \left( \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \right) \quad \Leftrightarrow \quad y=\ln \left( \left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \quad \Leftrightarrow \quad artanh=y=\dfrac{1}{2} \cdot \ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\)
Versuche vielleicht noch einmal alle Schritte nachzuvollziehen und schreibe es dir unbedingt nochmal aus, getreu dem Motto durch die Hand in den Verstand. Ich bin mir sicher, dass du beim zeigen dieser Identität viel mitnehmen kannst. ;) ─ maqu 21.01.2021 um 22:05
\(x \cdot (e^y)^2-(e^y)^2=-1-x \quad \Leftrightarrow \quad (e^y)^2 \cdot (-1+x)=-(1+x) \quad \Leftrightarrow \quad (e^y)^2 (1-x)=1+x =\quad \Leftrightarrow \quad (e^y)^2=\dfrac{1+x}{1-x} \quad \Leftrightarrow \quad e^y=\pm \sqrt{\dfrac{1-+x}{1-x}}\)
Da die e-Funktion immer positiv ist, reicht es die positive Wurzel für die weitere Betrachtung heranzuziehen:
Es gilt weiter:
\(e^y=\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \quad \Leftrightarrow \quad \ln(e^y)=\ln \left( \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \right) \quad \Leftrightarrow \quad y=\ln \left( \left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \quad \Leftrightarrow \quad artanh=y=\dfrac{1}{2} \cdot \ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\)
Versuche vielleicht noch einmal alle Schritte nachzuvollziehen und schreibe es dir unbedingt nochmal aus, getreu dem Motto durch die Hand in den Verstand. Ich bin mir sicher, dass du beim zeigen dieser Identität viel mitnehmen kannst. ;) ─ maqu 21.01.2021 um 22:05
Das werd ich auf jeden Fall machen. Danke dir!
─
wurzelbehandlung
21.01.2021 um 22:34
Immer gern :)
─
maqu
21.01.2021 um 22:50