So, das Ganze nochmal in Schönschrift.

\(f=\varphi^{*}\) ist wie folgt definiert: \(f:X\rightarrow Y,\;\;f(p) = \varphi^{-1}(p)\).
Dabei ist \(\varphi^{-1}\) nicht die Umkehrabbildung, sondern berechnet das Urbild von \(\varphi\), also: \(\varphi^{-1}(p) \;=\; \{ r\in\mathbb{R}[X]:\; \varphi(r)\in p\}\).
Bei unserem speziellen Fall \(\varphi\) ist das: \(\varphi^{-1}(p) \;=\; \{ r\in\mathbb{R}[X]:\; r\in p\} \;=\;\mathbb{R}[X] \cap p\).
Also: \(f(p) \;=\; \varphi^{*}(p) = \mathbb{R}[x] \cap p\).
Sei \(p=(x-i)\) nun das Primideal aller komplexen Polynome mit  \(x-i\) als Faktor.
Dann ist \(f(p) = \mathbb{R}[X] \cap p\).
Das ist die Menge aller reellen Polynome, die "\(x-i\)" als Linearfaktor haben.
Reelle Polynome bestehen bekanntermaßen aus

• einem konstanten Faktoren
• Linearfaktoren der Form \(x+a\), wobei \(a\in\mathbb{R}\)
• quadratischen reellen Faktoren, also Polynomen der Form \((x+c)(x+\bar{c})\), wobei \(c \in\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}\)