Äquivalenz von Normen

Aufrufe: 896     Aktiv: 28.04.2021 um 12:37
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Hallo!


Ich weiß, dass zwei Normen äquivalent sind, wenn \(\exists a,b>0 : a\Vert v \Vert_{p} \leq\Vert v \Vert_{q} \leq b\Vert v \Vert_{p} \). Das heißt, ich muss jetzt ein \(v\) finden, sodass die Aussage für alle \(a,b>0\) nicht gilt, oder?

Aber wie soll ich das denn machen? Nehme ich as Norm die \(L^p\) bzw \(L^q\)-Norm?
Ich stehe ein bisschen auf dem Schlauch, was meinen Ansatz angeht.

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Hätte ich so gesehen. die Negation der Aussage ist ja für alle a und b > 0 gilt die Abschätzung nicht. Und dann könnte man sich ja p und q aussuchen (zb p=2 und q=3) und versuchen durch Umformungen weiterzumachen
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darf ich denn einfach für p und q feste Werte einsetzen? Also dass ich die Funktion frei wählen kann, ist mir klar, aber soll ich nicht für allgemeine Normen zeigen, dass sie nicht äquivalent sind?
Auf jeden Fall schonmal vielen Dank!   ─   lunaphile 28.04.2021 um 12:08
Ich hätte gedacht, sich das erstmal für nen Spezialfall anzuschauen und dann kann man danach ja verallgemeinern   ─   arameroo 28.04.2021 um 12:37

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In die Abschätzung mit den Normen kann man dann ja eine Funktion in die Integrale einsetzen, die sich einfach integrieren lässt aber die Bedingung eben nicht erfüllt. Hätte an eine e-Funktion gedacht.
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