Hier mal ein paar grundsätzliche Sachen:

1)Text ist auch Teil eines Beweises, ist also auch Mathe. Erkläre kurz, was du machst vor jedem Schritt/Abschnitt des Beweises. Schau dir mal research paper als Motivation an, wie viel Fließtext die beinhalten!

2)Umformungen sollten immer ein $\iff$ oder $\implies$ beinhalten, vor allem in niedrigeren Semestern ist das wichtig, um den Überblick zu behalten. Die Umformungen gelten für alle $n \in \mathbb{N}^*$ nehme ich an. Schreib das dazu!

3)Sagen wir, du hast als das jetzt gemacht. Warum gilt $\frac{\sqrt{n+2}}{2} < \sqrt{n+1}$? Würde das gerne noch sehen, wenn ich deine Hausaufgaben korrigieren würde.

Bei der Folge $g_n$ achte bitte auf die Notation ($f_n$ vs. $g_n$). 

Versuch es nochmal, lade es hier hoch und ich gebe dir gerne erneut feedback.