Krümmung einer Funktion in einem Punkt

Aufrufe: 748     Aktiv: 03.01.2020 um 15:58
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Die Funktion lautet: \(x*y=4\),

der Punkt \(P=(2;2)\).

Zweifach implizit abgelitten \((...:D)\) komme ich auf:

\(y'= -\frac{y}{x}\)

\(y''=\frac{y}{x^2}-\frac{y'}{x}\)

Bei expliziten Funktionen hätte ich nun den gefragten Punkt \(P=(2;2)\), bzw in dem Fall die Stelle \(x\) eingesetzt und geschaut, ob der dazugehörige \(y-Wert\) positiv oder negativ ist.

Wie berechne ich nun hierraus die Krümmung \(k\)? Leider habe ich diesbzgl. auch kein passendes Video vom Mathegott \( Mr\frac{Daniel}{Jung}\) gefunden.

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Muss ich hier überhaupt implizit ableiten oder schreibe ich die funktion ganz einfach um auf y=4/x?   ─   helpmath 03.01.2020 um 11:47
Ich hab's nach etlichen Stunden herausgefunden.
y' in y'' eingesetzt. Jeweils y'(2;2) und y''(2;2) ausgerechnet und in die Formel für die Krümmung eingesetzt.

\(k=\frac{y''}{(1+y'^2)^\frac{3}{2}}\)
   ─   helpmath 03.01.2020 um 15:09
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Also du kannst die Formel nach y schlichtweg umstellen, ja. \(y=\dfrac{4}{x}\)

Implizit abgeleitet erhieltest du: \(f' = -\dfrac{F_x}{F_y} = -\dfrac{y}{x}\)

Für die Krümmung in P gilt: \(k(2) = \dfrac{|f''(2)|}{\sqrt{(1+f'(2)^2)^3}} = k(2) = \dfrac{1}{\sqrt{(1+(-1)^2)^3}} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

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