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Hallo an alle!

Während der Vorbereitung auf eine Prüfung bin ich auf die folgende Reihe gestoßen:
\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2k+1}\)

Nun soll ich feststelen, ob die Reihe (absolut) konvergiert oder divergiert und gegebenenfalls den Grenzwert berechnen.

(Bei einer ähnlichen Reihe ohne k im Zähler konnte ich problemlos durch die Vergleichsreihe 1/k^2 zeigen, dass sie konvergiert und mittels Partialbruchzerlegung den Grenzwert berechnen.)

Jedoch bei dieser Reihe kenne ich keine Vergleichsreihe...
WolframAlpha zeigt jedoch, dass es eine Minorante geben sollte und die Reihe somit divergiert:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%28k%2F%28k%2B1%29%2C+k%2C+0%2C+infinity%29

Das Quotineten- und das Wurzelkriterium führte bei mir ebenfals zu keinem Ergebnis.

Daher meine Frage:
Welche Vergleichsreihe kann ich heranziehen, um das Minorantenkriterium auf diese Reihe anzuwenden und dadurch zu zeigen, dass die Reihe divergiert?

Vielen Dank schon mal im Voraus für eure Antworten,

LG,
Florian

gefragt vor 6 Tagen, 2 Stunden
f
fl020,
Student, Punkte: 12

 
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3 Antworten
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Okay, neuer Versuch :D

Für \(k\geq 1\) gilt:

\(\frac{k}{2k+1}\geq\frac{1}{2k+1}\geq\frac{1}{2k+k}\geq\frac{1}{3k}\)

und die Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3k}=\frac{1}{3}*\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\)

divergiert.

geantwortet vor 6 Tagen, 1 Stunde
s
student201
Student, Punkte: 414
 

Schöne Abschätzung. Für \(k>2\) gilt auch \(2k+1 < k^2\), was zum gleichen Resultat führt.   ─   professorrs, vor 6 Tagen, 1 Stunde

@student201: vielen Dank für den Tipp, so müsste es gehen, macht Sinn, wäre selbst nie so drauf gekommen!

@professors: aber die letzte Ungleichung mit 2k+1   ─   fl020, vor 5 Tagen, 21 Stunden

Wie wäre die Vorgehensweise bei der Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^2+4k+3}\)?   ─   fl020, vor 5 Tagen, 20 Stunden

Zähler und Nenner durch k dividieren, und dann nach unten gegen Vielfaches von 1/k abschätzen, ähnlich wie vorher. Reine Übungssache.   ─   mikn, vor 5 Tagen, 16 Stunden

Ich glaube ich habe es gechafft die Minorante zu finden. Habe es folgendermaßen gemacht:
\(\frac{k}{k^2+4k+3}=\frac{1}{k+4+\frac{3}{k}}>\frac{1}{k+4·k+\frac{3}{k}}=\frac{1}{5k+\frac{3}{k}}>\frac{2}{5k+\frac{3}{k}·k^2}=\frac{1}{5k+3k}=\frac{1}{8}·\frac{1}{k}\)
Stimmen die Umformungsschritte so, bzw. ist das Beweis genug für das Minorantenkriterium?
  ─   fl020, vor 3 Tagen, 22 Stunden

Das ist super! Als Beweis genug (im Antwortsatz noch erwähnen, dass Summe 1/k divergiert, nicht nur so ne Abschätzung hinknallen). Du merkst vielleicht schon, dass das eine reine Übungssache ist. Und dass es auch andere Möglichkeiten gibt (z.B. mit \(\frac3k<1\le k\) kommt auf 6k im Nenner), aber wichtig ist, es bleibt ein Vielfaches von 1/k.   ─   mikn, vor 3 Tagen, 22 Stunden

Vielen Dank!   ─   fl020, vor 3 Tagen, 19 Stunden
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Also erstmal das n = 1 in deiner Reihe ergibt keinen Sinn, dass muss natürlich ein k = 1 sein.

Sollte es tatsächlich ein n = 1 sein, dann konv. die Reihe wenn k/(2k+1) = 0 ist. Ich denke allerdings das du dich nur verschrieben hast.

Außerdem divergiert diese Reihe meines Wissens nach und WA bestätigt das auch, vielleicht hast du falsch falsches eingetippt.

Hier der Link: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%28k%2F%282k%2B1%29%2C+k%2C+1%2C+infinity%29

 

geantwortet vor 6 Tagen, 1 Stunde
k
kallemann
Student, Punkte: 514
 

Hallo,

danke für dein Feedback!
Ja du hast recht, ich habe mich da verschrieben mit dem n, sollte ein k sein! Schon abgeändert!
Ganz genau die Reihe divergiert, steht eh so im ersten Post, habe es aber noch deutlicher formuliert...

Was wäre nun eine passende Vergleichsreihe für das Minorantenkrietrium?
  ─   fl020, vor 6 Tagen, 1 Stunde
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Hi,

mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium kommst du tatsächlich nicht weiter.

Aber versuch mal das Nullfolgenkriterium bzw. Trivialkriterium ;)

Liebe Grüße!

geantwortet vor 6 Tagen, 1 Stunde
s
student201
Student, Punkte: 414
 

Danke für den Hinweis!
Ich werde das als Alternative versuchen...
Jedoch kommt diese Art von Reihe bei mir häufiger vor, deshalb wäre es für mich wichtig eine Vergleichsreihe zu kennen und das Minorantenkriterium anzuwenden.
WolframAlpha kennt ja scheinbar eine Vergleichsreihe...
  ─   fl020, vor 6 Tagen, 1 Stunde
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