Die Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel (Parabel wegen \(x^2\), nach unten geöffnet, weil der Koeffizient vor dem \(x^2\) negativ ist), das heißt der Wertebereich geht auf jeden Fall bis \(-\infty\), darum müssen wir uns keine Gedanken machen. Die Funktion hat ihr Maximum am Scheitelpunkt, also müssen wir diesen bestimmen. Dazu bringen wir die Funktion in Scheitelpunktform:

\(-\frac12x^2+bx=-\frac12(x^2-2b)=-\frac12(x^2-2b+b^2-b^2)=-\frac12[(x-b)^2-b^2]=-\frac12(x-b)^2+\frac{b^2}2.\)

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten \((b|\frac{b^2}2)\). Du musst also lediglich die Werte für \(b\) bestimmen, für die \(\frac{b^2}2=1\) gilt.