Um zu zeigen, dass \(V=V_1+V_{-1}\) gilt, kannst du die Gleichung \(v=\frac{v+j(v)}{2}+\frac{v-j(v)}2\) benutzen.
Für die komplexe Konjugation musst du einfach nur die Eigenschaften \(j^2=\mathrm{id}\) und \(j(zv)=\bar zj(v)\) nachrechnen.
Für den letzten Teil: Da die Summe direkt ist, ist \((v^1,\ldots,v^k,\bar v^1,\ldots,\bar v^k)\) eine Basis von \(U\oplus j(U)\). Zeige, dass diese Basis die gleiche Menge erzeugt wie die gegebene. Dazu genügt es zu zeigen, dass alle Elemente der einen Basis als Linearkombination der anderen Basis dargestellt werden können und andersherum .