Exponentialfunktion mit Parameter, Extremstellen berechnen.

Aufrufe: 596     Aktiv: 08.01.2020 um 13:41
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fa(t)=95(1-a•t)ehoch2a•t

hier soll ich die Extremstellen davon berechnen, kann das jemand?

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Um die Extremstellen einer Funktion zu bestimmen, muss man die Ableitung gleich Null setzen. In diesem Fall wird die Produktregel benötigt. Die Hauptschwierigkeit liegt darin  \(t\cdot e^{2at}\) abzuleiten.

\(f_a (t) =95(1-at) e^{2at}\\=95e^{2at}-95at\cdot e^{2at}\\f_a' (t)=190a\cdot e^{2at}-190a^2 t\cdot e^{2at}-95at\cdot e^{2at}\\=95a\cdot e^{2at}(1-2at)\stackrel{!}{=}0\)

Da die e-Funktion immer positiv ist, gilt \(e^{2at}\neq0\) und nach dem Satz vom Nullprodukt kann man damit nur \((1-2at)=0\) berücksichtigen. Auflösen nach t führt zur gesuchten Extremstelle.

 

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Vielen Dank!!!   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 11:16
Wie löse ich denn jetzt nach t auf?😅   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 11:27
Und dann noch den Wert in die normal Funktion einsetzen? Für den y-wert, oder?   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 11:33
Eine ExtremSTELLE ist normalerweise nur der x-Wert, wenn man noch y ausrechnet bekommt man den ExtremPUNKT. Um die Gleichung nach t aufzulösen teile 1=2at durch 2a auf beiden Seiten.   ─   holly 08.01.2020 um 11:34
Danke nochmal, ja ich muss den Extrempunkt ausrechen ( ich soll das Maximum des Schuldenstandes berechnen... also muss ich t noch in die normale Funktion einsetzen, richtig?   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 11:45
Ja korrekt. Eigentlich muss man auch noch zeigen, dass es sich bei der Extremstelle um ein Maximum und kein Minimum handelt.   ─   holly 08.01.2020 um 11:47
Oh man... hättest du evtl. Lust mir bei Aufgabe f & g noch zu helfen? ( das eben war e )   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 11:50
ja, hau raus!   ─   holly 08.01.2020 um 11:51
Aufgabe f)
Begründen Sie, warum man die geringste Zunahme der Steuereinnahmen benötigt, wenn das Maximum möglichst spät angenommen werden soll. Für welches a ist dies der Fall, wenn das Maximum im Jahr 2030 liegt?

Also als Hintergrund info... man hat ja die Funktion fa(t) = 95(1-at.... und t entspricht den Jahren ab 2010 die Funktion gilt für den Schuldenstand der Jahre 2010-2030   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 11:54
G) stellen sie für a = 0,025 eine Funktion g auf, die notwendige Zunahme der Steuereinnahmen in Prozent beschreibt, wenn der Zinssatz für die Schulden konstant bleibt. Geben sie den Werte Bereich dieser Funktion für 0< t < 20 an. ( unter den < ist ein Strich )   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 11:56
Ich sollte dich echt bezahlen dafür, echt ganz lieben dank!!   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 12:05
zur f) wenn das Maximum in 2030 (t=20) liegt, dann heißt das \(f_a '(20)=0\), wir hatten oben \(t=\frac{1}{2a}\) ausgerechnet, für t=20 kommt da a=0,025 heraus.   ─   holly 08.01.2020 um 12:12
Ok und wie begründe ich das mit der geringsten Steuerzunahme? Also warum muss die so gering sein, damit das Maximum spät angenommen wird?   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 12:16
Steuereinnahmen senken den Schuldenstand, daher suchen wir nach deren Maximum. Das ist dort, wo die Ableitung der Steuereinnahmen gleich 0 ist.   ─   holly 08.01.2020 um 12:19
Also bei f einfach fa‘(20)= 95 (1-a•1:2a)e hoch 2•a•1:2a?
  ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 12:22
Die Rechnung: Wir wissen von oben: das Maximum ist immer da, wo \(t=\frac{1}{2a}\). Nun ist das Maximum in t=20, dies setzen wir ein und lösen es nach a auf: \(20=\frac{1}{2a}⇔a=\frac{1}{40}\).   ─   holly 08.01.2020 um 12:25
Wie würde die Rechnung denn genau aussehen?😅 ich bin gerade ein bisschen verwirrt...   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 12:28
(die Rechnung steht eins über der Frage)   ─   holly 08.01.2020 um 12:32
Habe ich auch gerade gesehen, Hast du jetzt noch ein Tipp für g), dann störe ich auch nicht weiter😅 bin echt dankbar, dass du dir Zeit nimmst.   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 12:33
bei der g) geht es darum, dass der Schuldenstand durch \( f_{0,025} (t) =95(1-0,025t) e^{0,05t} \) beschrieben werden kann. Um die Funktion g aufzustellen müsste man erst einmal wissen, ob neue Schulden aufgenommen werden.   ─   holly 08.01.2020 um 12:35
Keine Neuen Schulden, ich habe eine gerade durch einen Graphen gezogen, welcher gegeben war. Dort sah man, dass die Neuverschuldung ab 2012 negativ ist, also Schulden zurück gezahlt werden können. Die Gleichung zu der Gerade ist y=-1:12 x t -1 ( t in Jahren nach 1990... immer weniger Neuverschuldung, muss man die mit einberechnen?   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 12:39
also ich intepretiere das so, dass Neuverschuldung einfach negative Steuereinnahmen sind. In dem Fall muss man nur \(f_{0,025}' (t)\) berechnen.   ─   holly 08.01.2020 um 12:41
Also konkret: \(g(t)=-f_{0,025}'(t)\), da die Schulden sinken, wenn die Einnahmen steigen.   ─   holly 08.01.2020 um 12:42
Ok, magst du mir die Rechnung einmal schicken? Ich sag nochmal danke und wünsche dir viel Erfolg in deinem Studium😊   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 12:43
\( g(t)=-f_{0,025}'(t)=\frac{19}{160} e^{0,05 t} (t-20) \)   ─   holly 08.01.2020 um 12:46
Woher kommt die Rechnung?😅👍🏻   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 13:09
Das Problem ist, dass ich das halt auch erklären können muss... magst du einmal erklären, wie du auf die Gleichung kommst und wie man die Auflöst?   ─   hulkknowsmath 08.01.2020 um 13:24
\(f_a (t) \) beschreibt den Schuldenstand t Jahre nach 2010. Steigt der Schuldenstand an, so müssen auch die Steuereinnahmen in gleichem Maße ansteigen. Die Zunahme berechnet man mit \(f_a'(t) \). Wir haben gegeben, dass \(a=\frac{1}{40}\) ist. Wir haben oben \(f_a'(t) \) bereits ausgerechnet, das heißt man muss nur noch das \(a=\frac{1}{40}\) einsetzen um \(f_{0,025}'(t) \) zu erhalten. Das ist dann gleich \(g(t)\)   ─   holly 08.01.2020 um 13:39
Der Wertebereich bestimmt sich durch das Minimum und das Maximum von g(t) auf dem Intervall [0,20].   ─   holly 08.01.2020 um 13:41
Viel Glück noch, ich hab nun einen Termin.   ─   holly 08.01.2020 um 13:41

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