Bild einer Matrix

Aufrufe: 625     Aktiv: 02.01.2021 um 11:33
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Hallo zusammen,

es geht darum, das Bild einer Matrix zu bestimmen.

Meine Zeilenstufenform lautet, nachdem ich die erste von der dritten Zeile abgezogen habe:

1     1     0

0      1    1

0      0     0

Meine Idee ist, dass ich die Pivot-Elemente ablese (die "1" in Zeile 1, Spalte 1 und die "1" in Spalte 2, Zeile 2) und diese Spalten (also die ersten beiden) der Ursprungsmatrix mein Bild aufspannen. Meine Lösung wäre also

Bild (A) = < (1,0,1) (1,1,1)>  

Dementsprechend wäre der Rang (A) = 2.

Ist das so richtig oder habe ich einen Fehler? Ich habe ein ungutes Gefühl aus dem Grund, dass das Bild immer gleich den linear unabhängigen Spalten ist. Und die erste und dritte Spalte sind doch auch linear unabhängig. Also müsste das Bild nicht < (1,0,1) , (0,1,0) > sein, also die erste und dritte Spalte?

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Student, Punkte: 260

 
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Also deine Rechnung ist richtig, jedoch hast du etwas umständlich gedacht.

Du hast den richten Rang berechnet, also weißt du die Dimension des Bildes. Nun bedeutet es das Bild einer Matrix zu bestimmen, das dein Bildraum die Dimension zwei hat, also von 2 Vektoren aufgespannt wird. Du kannst dann direkt nach der Berechnung des Rangs zwei lin. unab. Spaltenvektoren aus deiner Matrix wählen und die Menge aller Linearkombinationen (der Span) ist dann das gesuchte Bild der Matrix.

Alternatives Vorgehen: Matrix transponieren, Zeilenstufenform aufstellen, Matrix zurücktransponieren und alle Spalten ablesen welche nicht nur aus Nullen besteht!

;)

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Student B.A, Punkte: 1.47K

 
Ich hab es nochmal, damit ich es wirklich verstehe, mit einer anderen Matrix gemacht, nämlich der hier:
1 2 1 4
2 4 1 5
3 6 1 6
Mit meiner Methode, also die Pivot-Elemente abzulesen, kommt zuerst die ZSF heraus:
1 2 1 4
0 0 -1 -4
0 0 0 0
Damit sind 1 und -1 meine Pivot-Elemente und mein Bild wäre:
<(1,2,3),(1,1,1)>

Wenn ich es aber mit der o.g. Methode mache, bei der man die Matrix transponiert erhalte ich die transponierte Matrix
1 2 3
2 4 6
1 1 1
4 5 6

Die ZSF davon:
1 2 3
0 0 0
0 -1 -2
0 0 0

Wenn ich das zurücktransporniere:
1 0 0 0
2 0 -1 0
3 0 -2 0

Womit mein Bild wäre:
<(1,2,3),(0,-1,-2)>

Habe ich da einen Fehler gemacht oder wieso kommen da unterschiedliche Bilder raus?   ─   akimboslice 02.01.2021 um 11:08
Und was ist denn die Definition von Bild? Kannst du mir das sagen? :)   ─   kallemann 02.01.2021 um 11:27
Stichwort: Es gibt nicht "das eine Bild" einer Matrix. Eine Matrix kann unendlich viele Bilder besitzen   ─   kallemann 02.01.2021 um 11:32
Noch eine letzte Ergänzung: Das Bild einer Matrix ist gleich den linear unabhängigen Spalten.
Damit lass ich dich in Ruhe drüber nachdenken ;)   ─   kallemann 02.01.2021 um 11:33

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