Taylor-Approximation 3.Grades bei einem Integral von 0 zu 2 von der Funktion x^x bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 712     Aktiv: 23.03.2021 um 03:13
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Nabend Leute,

ich hatte in meiner Prüfung die Aufgabe, die Taylor-Approximation 3.Grades von der Funktion x^x zu bestimmen. Zusätzlich hatte diese Funktion einen Integral von 0 zu 2. Die Entwicklungsstelle x0 war 0 gewesen.

In der Prüfung wusste ich nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen sollte, normalerweise habe ich keine Probleme mit der Taylor-Approximation, aber bei dieser Funktion mit dem gegebenen Integral wusste ich nicht wirklich weiter. Ich konnte die Taylor Gleichung bis zum 2.ten Grad aufstellen, wusste dann aber nicht weiter.

Nun würde mich gerne interessieren wie ich da vorgehen muss um diese Aufgabe zu bewältigen.
Vielen Dank im Voraus
.


Edit: Habe eben dazu ein Bild hochgeladen, das Problem ist bei mir wenn ich x0=0 in die Ableitungen einsetze, da ich dann nicht definierbare Ergebnisse erhalte.
Edit2: 2tes Bild zeigt an wie die Aufgabe ungefähr gestaltet war.
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Woran ist es denn gescheitert?   ─   1+2=3 20.03.2021 um 22:56
An der 3. Ableitung bei dieser Funktion, habe diese jetzt mal eben mithilfe eines Online-Programms gelöst, aber dennoch habe ich das Problem wenn ich x0=0 in die jeweiligen f,f',f'' und f''' einsetze.

x^x wäre ja somit 0^0 - was wäre dort das Ergebnis, 0 oder 1? Taschenrechner gibt auch nur einen mathematischen Fehler und im Internet steht es ist entweder 0 oder 1.
Die erste Ableitung ist ja x^x(ln(x)+1), wenn ich dort 0 einsetze und dann ln(0) bestimmen muss, komme ich wieder auf das Problem, wo ich nicht weiß, was ich da als Ergebnis bekomme.
Taylor-Approximation ist ja eigentlich relativ einfach, nur bei diesem Fall weiß ich nicht weiter.
Falls ich dann auf eine Gleichung kommen sollte, müsste ich ja dann auch nur dazu das Integral bestimmen und wäre dann auch somit fertig, oder?   ─   theonlyplayer 21.03.2021 um 01:56
\(int_0^2 x^x\) ist die Funktion, also Integral von 0 zu 2 von der Funktion x^x

Habe eben dazu ein Bild hochgeladen, das Problem ist bei mir wenn ich x0=0 in die Ableitungen einsetze, da ich dann nicht definierbare Ergebnisse erhalte.   ─   theonlyplayer 21.03.2021 um 15:07
Habe nur eine ähnlich aussehende Aufgabe gefunden, die Aufgabe war wirklich so dargestellt. Das Integral stellt ja auch zunächst kein Problem dar, nur leider kann man nicht viel mit der x^x anfangen da beim Einsetzen der Entwicklungsstellen nicht definierbare Lösungen entstehen.   ─   theonlyplayer 21.03.2021 um 16:06
Das Integral wird doch bestimmt wenn man die Taylor-Gleichung aufgestellt hat, da kann es doch nicht zu einer Zahl von 2834 kommen.   ─   theonlyplayer 21.03.2021 um 16:58
Ja das Integral stellt für mich auch kein Problem, das Problem ist nur wenn x0=0 wirklich vorgegeben war, da ich bei dieser Funktion damit nicht weiterrechnen konnte.   ─   theonlyplayer 22.03.2021 um 19:17
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1 Antwort
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Die Funktion \(x\mapsto x^x\) ist in \(0\) nicht differenzierbar, hat dort also auch keine Taylor-Entwicklung. Das Integral \(\alpha:=\int_0^2 x^xdx\) ist eine Zahl. Wenn das die (konstante ) Funktion sein soll, deren Taylor-Entwicklung in \(0\) berechnet werden soll, dann ist diese Taylor-Entwicklung wieder die konstante Funktion \(\alpha\).

Hilft das?
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Hallo und danke für die Antwort,
leider komme ich damit nicht wirklich weiter, wäre es dann überhaupt möglich eine Taylor-Reihe aufzustellen? Könnte man x^x durch einen Taylorpolynom ersetzen?   ─   theonlyplayer 22.03.2021 um 14:06
Nein, eine Taylor-Reihe im Punkt \(0\) existiert nicht. Vielleicht soll ja in einem anderen Punkt entwickelt werden?   ─   slanack 22.03.2021 um 16:22
Bin mir eigentlich sicher, dass x0=0 gegeben war. Wenn x0=1 wäre, dann sehe die Aufgabe auch sehr leicht machbar aus. Vielleicht irre ich mich auch und es war x0=1 gegeben oder eine andere Stelle aber alles bis auf 1 macht wenig Sinn, da wir auch kein Taschenrechner benutzen dürfen.

Wenn keine Stelle in der Aufgabe gegeben ist, nimmt man dann automatisch x0=0?   ─   theonlyplayer 22.03.2021 um 19:15
Nee, das kann man so nicht sagen. Die Stelle muss man schon explizit angeben bei der Aufgabenstellung.   ─   slanack 22.03.2021 um 19:39
Achso weil ich in einer Aufgabe das Integral durch näherung des Integranden mit einem Taylor-Polynom 2.Grades bestimmen muss und dort keine Stelle gegeben ist.   ─   theonlyplayer 23.03.2021 um 03:13

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