Surjektivität der Abbildung einer m x n - Matrix

Erste Frage Aufrufe: 75     Aktiv: 25.04.2024 um 14:09
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F(A): R^n -> R^m

Wie lässt sich folgende Aussage beweisen? F(A) ist surjektiv genau dann, wenn das Gleichungssystem Ax=b für jedes b element von R^m mindestens eine Lösung besitzt?
Ist ein Weg mit dem Urbild möglich?

EDIT vom 25.04.2024 um 12:32:

A ist eine reelle m x n Matrix und F(A) R^n -> R^m ist die dazugehörige lineare Abbildung

EDIT vom 25.04.2024 um 13:41:

 
etwa so?
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Student, Punkte: 15

 
Hier stimmt was nicht: Was ist F, was ist A? Prüfe die Notation der Abbildung sorgfältig.   ─   mikn 25.04.2024 um 12:30
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1 Antwort
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Die zu zeigende Aussage ist die Def. von "surjektiv" für die genannte Abbildung. Einfach Def. einsetzen. Wo ist das Problem? Schreib Deinen Beweis mal auf und lade ihn gerne zur Kontrolle hoch (oben "Frage bearbeiten").
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geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 39.04K

 
Mein Problem ist folgendes: Ich soll die Definition beweisen, weiß aber nicht wie ich da herangehen soll.
   ─   itoxiic 25.04.2024 um 12:41
Definitionen kann man nicht beweisen. Nur Aussagen.
Mach Dir klar, was F(A)(x)=y bedeutet. Dann fang an mit der linken Seite der Aussage, wie gesagt, Def. einsetzen und äquivalent umformen. Zu rechnen gibt es nichts. Los geht's.   ─   mikn 25.04.2024 um 12:54
Es geht um surjektiv, nicht injektiv. Die ersten zwei Zeilen deines Beweises sind gut. Dann aber: mit Umkehrfunktion haben wir nichts zu tun, schon gar nicht mit Betrag $\ge 1$.
Lies nochmal den obigen Kommentar ("mach dir klar...").   ─   mikn 25.04.2024 um 14:09

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