Anhand des Eulerschen Ansatztes inhomogenes DGL lösen

Aufrufe: 1099     Aktiv: 07.09.2020 um 14:16
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Moin leute,

ich soll in folgernder Aufgabe anhand des Eulerschen Ansatztes das DGL lösen.

y´´+y=2*Cos(x)+x

Hierbei handelt es sich ja offensichtilich um ein DGL mit Störfunktion.

Da es sich allerdings um ein Cos handelt verstehe ich nicht ganz 100% wie man nun dem angeht.

als erstes macht man ja die charakerristische gleichung als wäre die funktion=0 oder?

und dann fährt man fort mit dem Lösungsansatzt welchen wir in einer tabelle gegeben bekommen und den ich nicht wirklich vertstehe.

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Ja, zuerst das homogene Problem allgemein lösen (das ist das mit rechte Seite =0, das löst man mit der char. Gleichung).

Dann muss man eine(!) partikuläre Lösung suchen, der Ansatz dazu hängt von der rechten Seite ab. In diesem Fall findest Du die aber in der Tabelle nicht. Das geht dann so:
1. eine part. Lösung für rechte Seite = x bestimmen

2. eine part. Lösung für rechte Seite = 2cos x bestimmen

Ergebnis aus 1. und 2. addieren gibt eine part. Lösung für Deine rechte Seite.

Der Ansatz zu 1. ist \(y_p(x)=c\cdot x\) mit zu bestimmendem Parameter \(c\)

Der Ansatz zu 2. ist \(y_p(x)=x\,(A\sin x+B\cos x)\) mit zu bestimmenden Parameter \(A, B\)  (oder die in der Tabelle genannte zweite Variante, geht auch).

Schau mal, ob Du diese Ansätze anhand der Tabelle bestätigen kannst.

Wenn's irgendwo hakt, nachfragen (unter Angabe, wie weit Du gekommen bist).

 

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hmmm ok verstehe schon den ersten part nicht wirklich was genau du mit c*x meinst.
habe das jetzt soweit also schatzungsweise den homogenen teil fertig würde ich behaupten(unten hinzugefügt)   ─   pizzacorgie 05.09.2020 um 17:49
yh müsste ja an sich 1*(A*cos(b*x)+B*sin(b*x)) mit b=+-i
und beim ersten part wären wir im zweiten fall da ja a1=0 und a0=1 ist aber müssten wir nicht nach ganz unten in die tabelle da wir cos haben in S(x)?   ─   pizzacorgie 05.09.2020 um 18:23
hmmm stehe ein wenig auf dem schlauch verstehe nicht ganz was du von mir möchtest.
Habe also denke ich zumindest a und b bereits definiert wie oben zu sehen oder nicht? a=a1/2 = 0/2 =0 ; b=\sqrt{\frac{a1°2}{4}-a0} = \sqrt{\frac{0^2}{4}-1} = i oder ist da was falsch? und das ist doch der erste schritt oder nicht?   ─   pizzacorgie 05.09.2020 um 18:56
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe ist yh=a+b*i dementsprechend mit a und b eingestetzt müsste das wie folgt aussehen yh=0+-i*i => yh=+-i^2   ─   pizzacorgie 05.09.2020 um 20:16
joa wie schon gesagt verstehe nicht ganz was du von mir möchtest a+bi ist doch yh? oder was meinst du mit a+bi?   ─   pizzacorgie 06.09.2020 um 14:07
ahhh ok dann haben wir aneinander vorbei geredet dachte du wolltest versuchen mir klar zu machen das a+bi yh ist.
hmm also soweit ich verstanden habe ist a+bi=λ1 und λ2=a-bi   ─   pizzacorgie 06.09.2020 um 14:46
für a hatte ich 0 und für b hatte ich +-i raus welche formel genau meinst du mit oberigen formel? y(x)=e^a*x*(A*cos(b*x)+B*sin(b*x))=>1*(A*cos(+-i*x)+B*sin(+-i*x))?
   ─   pizzacorgie 06.09.2020 um 20:30
achso ja also eingesetzt kommt a+bi=λ1 und λ2=a-bi jeweils +-i*i also +-i^2   ─   pizzacorgie 06.09.2020 um 21:05
Müssten sie sein.   ─   pizzacorgie 07.09.2020 um 10:38
ja :D   ─   pizzacorgie 07.09.2020 um 10:56
ja liegt glaube ich daran das ich nicht wirklich verstehe was du von mir möchtest bzw. versuchst mir beizubringen.
also das normale prinzip verstehe ich von euler ich weiß bloß nicht wie ich das angehe wenn ich sin bzw. cos drin habe.
  ─   pizzacorgie 07.09.2020 um 12:13
das stimmt wohl
wir reden aber ja hier von einem komplex konjugierende lösung oder? und da steig ich halt nicht durch wie man das korrekt anwendet
  ─   pizzacorgie 07.09.2020 um 12:26
naja hatte gehofft das mir wer helfen kann das zu verstehen aber dann wohl leider nicht skripte etc.haben mir nämlci hauch nicht weitergeholfen.   ─   pizzacorgie 07.09.2020 um 12:34
jo korrekt das das falsch ist habe ich schon selber bemerkt darum ja eingeklammert und darunter versucht richtig zu machen. aber da fehlt mir leider der ansatz wie das richtig zu berechnen ist.   ─   pizzacorgie 07.09.2020 um 14:16

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