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Supremum: Die Ungleichung $n\leq \frac{1}{x}$ ist ein Widerspruch zum Archimedischen Axiom, das besagt, dass für zwei Zahlen $y>x>0$ stets ein $n\in \mathbb{N} $ existiert mit $nx>y$. Hier ist $y=1$.
Infimum: das Infimum wird angenommen. Nämlich für $n=1$. Daraus folgt aus deiner Ungleichung aber sofort $x=0$.
Infimum: das Infimum wird angenommen. Nämlich für $n=1$. Daraus folgt aus deiner Ungleichung aber sofort $x=0$.
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cauchy
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Habe doch schon geschrieben, dass daraus $x=0$ folgt, was im Widerspruch zu $x>0$ steht...
─
cauchy
27.10.2023 um 02:49
Ein Punkt ist noch bemerkenswert.
Beim Infimum führt die ursprüngliche Ungleichung "\(1-1/n \ge 0+x\)" für alle x>0 auf einen Widerspruch, nämlich für n=1.
Bei der umgeformten Ungleichung "\(1/(1-x) \le n\)" hingegen nicht: Wenn man z.B. x=2 wählt, steht da: \(-1 \le n\), was für alle n richtig ist, auch für n=1.
Wie kommt es hierzu? Das liegt daran, dass die beiden Ungleichungen nicht äquivalent sind.
Wenn man umformt, nimmt man irgendwann auf beiden Seiten den Kehrwert, und man dreht das Ungleichheitszeichen um.
Das aber darf man nur, wenn beide Seiten das gleiche Vorzeichen haben, was bei x=2 nicht der Fall ist.
Hier nochmal die Umformung:
\( \begin{array}{lcl}
1-1/n \ge 0+x & | & -1\\
-1/n \ge x-1 & | & \cdot(-1)\\
1/n \le 1-x &| & \mbox{Kehrwert}\\
n \ge 1/(1-x)& | & \mbox{Seitentausch}\\
1/(1-x)\le n &|&
\end{array}\)
Wenn man in diese Umformungen x=2 und n=1 einsetzt, sieht man: Vor der Umformung "Kehrwert" sind die Ungleichungen falsch, danach richtig!
─ m.simon.539 27.10.2023 um 11:28
Beim Infimum führt die ursprüngliche Ungleichung "\(1-1/n \ge 0+x\)" für alle x>0 auf einen Widerspruch, nämlich für n=1.
Bei der umgeformten Ungleichung "\(1/(1-x) \le n\)" hingegen nicht: Wenn man z.B. x=2 wählt, steht da: \(-1 \le n\), was für alle n richtig ist, auch für n=1.
Wie kommt es hierzu? Das liegt daran, dass die beiden Ungleichungen nicht äquivalent sind.
Wenn man umformt, nimmt man irgendwann auf beiden Seiten den Kehrwert, und man dreht das Ungleichheitszeichen um.
Das aber darf man nur, wenn beide Seiten das gleiche Vorzeichen haben, was bei x=2 nicht der Fall ist.
Hier nochmal die Umformung:
\( \begin{array}{lcl}
1-1/n \ge 0+x & | & -1\\
-1/n \ge x-1 & | & \cdot(-1)\\
1/n \le 1-x &| & \mbox{Kehrwert}\\
n \ge 1/(1-x)& | & \mbox{Seitentausch}\\
1/(1-x)\le n &|&
\end{array}\)
Wenn man in diese Umformungen x=2 und n=1 einsetzt, sieht man: Vor der Umformung "Kehrwert" sind die Ungleichungen falsch, danach richtig!
─ m.simon.539 27.10.2023 um 11:28
─ m.simon.539 27.10.2023 um 01:50