Die Splinefunktion setzt sich aus zwei Polynomen zweiten Grades zusammen:
$p_1(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ für $x\in [0,1]$
und
$p_2(x)=b_2x^2+b_1x+b_0$ für $x\in [1,2]$
Wir haben also 6 Unbekannte.
Erster Schritt: Wertetabelle machen.
Interpolationsbedingungen für die $x_i$ aufstellen. Gibt 4 Gleichungen.
Zweiter Schritt: Erste Ableitung soll stetig in $x=1$ sein: $p'_1(1)=p'_2(1)$. Gibt eine Gleichung.
Dritter Schritt: Vorgabe $s'(0)=p'_1(0)=0$ gibt noch eine Gleichung.

Zusammen also 6 Gleichungen für 6 Unbekannte, alles linear, also LGS mit sogar einfachen Gleichungen. Ausrechnen.

Das mit den Gleichungen steht übrigens alles in Deiner Vorlesung.