Lineare Abbildung anhand der Form erkennen

Aufrufe: 684     Aktiv: 25.12.2020 um 11:20
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Hallo zusammen, 

es geht um folgende Aufgabe aus einem Buch, das kostenlos als pdf zu haben ist, also keine Sorge wegen copyright. Es heißt "Mathematik für Informatiker Band 1" von den Eheleuten Teschl.

 

Obwohl ich das Thema der linearen Abbildungen bisher ganz gut verstehe, komm ich hier seit Tagen nicht weiter. Anhand einer Formel kann ich lineare Abbildungen erkennen (Additivität + Homogenität). Aber hier verstehe ich einfach nicht, wie die Autoren in der Lösung mit

"Die Abbildung ist linear, da sie die Form .... hat"

bzw.

bei der b) "Die Abbildung ist nicht linear, weil sie nicht die Form ... hat" 

argumentieren. Wie erkennt man das? Für mich ist nicht ersichtlich, wie die Form aussehen muss. Wieso ist die eine linear und die andere nicht? Es geht hier nicht darum, dass mir jemand die Aufgabe löst, schließlich ist sie ja schon gelöst. Es geht ums Verständnis und hier komme ich trotz diverser Videos nicht weiter.

 

Grüße und frohe Weihnachten

 

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In der Lösung zu a) steht ja direkt am Anfang wie eine lin. Abb. aussehen muss. Matrix mal Vektor. Die Abmessungen der Matrix (wieviele Zeilen, wieviele Spalten) ergeben sich aus Def- und Wertebereich.

Insb. sieht man. Die Variablen treten nur multipliziert mit Konstanten auf (diese Konstanten sind die Matrixelemente), sie werden nie untereinander multipliziert (also x1*x2 geht nicht, dazu müsste ja eine Variable in die Matrix gehen, was nicht darf, in der Matrix stehen Konstanten, NIE Variablen). Es treten auch nie Konstanten "alleine" auf (wie in b)), denn dann kann es auch nicht mit der Matrix-Darstellung klappen.

So erkennt man das. Wenn man es konkret nachweisen muss, dann z.B. so wie in der Lösung.

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Tatsache. Ich weiß nicht, wie ich das nicht sehen konnte. Es ist wie so oft: wenn man es einmal verstanden hat, ist es ganz einfach.
Vielen Dank für die ausführliche Antwort und schöne Feiertage.   ─   akimboslice 25.12.2020 um 09:48

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