Der Ansatz ist ein Standardvorgehen beim Beweisen: Aus einer notwendigen Bedingung das Ergebnis gewinnen und dann die gewünschte Eigenschaft zeigen. Hier so: Wenn \[g(x,y):=\frac{f(x,y)}{xy},\quad xy\neq0,\] eine \(k-2\)-mal stetig differenzierbare Fortsetzung \(\bar g\) auf \(\mathbb{R}^2\) besitzt, dann ist \(\bar g\) also mindestens stetig, da \(k\ge2\) gilt.  Es gilt also für alle \(z_0=(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2\): \[\bar g(z_0)=\lim_{z\to z_0}g(z).\] Du willst die Werte von \(\bar g\) in \(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|xy=0\}\) bestimmen, da diese die einzigen sind, die noch unbekannt sind. Dazu kannst Du diese notwendige Stetigkeitsbedingung verwenden und die entsprechenden Grenzwerte berechnen.  Tipp: dabei geht die zweifach stetige Differenzierbarkeit von \(f\) ein; Du must ein bißchen überlegen, wie man das rechnet.

Nachdem Du \(\bar g\) komplett berechnet hast, nimmst Du diese Funktion als Ansatz und zeigst, dass sie \(k-2\)-Mal stetig differenzierbar ist.

Hilft das?