Ich schreibe $f(x)=\langle f,x \rangle$.Sei $f \neq 0$. Dann gilt $$ \ker f=\ker \frac{f}{||f||}=E$$. Nach dem Satz von Hahn-Banach gibt es ein $u \in X$ mit $||u||=1$ und $g(u)=\frac{f(u)}{||f||}=1$. Definiere die Abbildung

$$P:X \to X,x \mapsto x-g(x)u.$$

Dann kannst du dich davon überzeugen, dass $P^2=P$ und $P(X) \subset E$ gilt. Dann gilt außerdem 

$$||x-Px||= \frac{|f(x)|}{||f||},$$

vergewissere dich. In der Aufgabe ist ein Typo, es sollte $dist(x,E)=\inf_{y \in E}||x-y||$ sein. 

Um jetzt Minimalität zu zeigen, argumentiere wir so: Schätzen wir für alle $y \in E $ wie folgt ab

$$ ||x-Px||=\frac{|f(x)|}{||f||}=\frac{|f(x-y)|}{||f||}\leq \frac{||f||}{||f||}||x-y||=||x-y||,$$

wobei Gleichheit nach Konstruktion für $y=Px$ gilt. Auch das solltest du überprüfen. Bildungs des Infinimums über alle $y \in E$ ergibt die Behauptung.

Sorry für die volle Lösung, aber das zu erklären ist mir einfach zu zäh und trocken.