\(P[A]\) wenn \(P[A \cap B] = \frac{1}{2}\) und \(P[A \cup B] = \frac{1}{2}\)

Aufrufe: 553     Aktiv: 18.08.2020 um 16:13
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Gesucht ist \(P[A]\) wenn \(P[A \cap B] = \frac{1}{2}\) und \(P[A \cup B] = \frac{1}{2}\).

Dabei ist \(P[A] \ = \frac{1}{2}\). Ich verstehe aber leider nicht weshalb.

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Student, Punkte: 140

 
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2 Antworten
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Also zunächst einmal muss \(P(A)\geq 0.5\) und \(P(B)\geq 0.5\) sein, denn sonst könnte nicht \(P(A\cap B)=0.5\)  sein. Nun gilt

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)

und damit 

\(1=P(A)+P(B)\).

Da beide Wahrscheinlichkeiten größer gleich 0.5 sein müssen, muss also \(P(A)=P(B)=0.5\) sein.

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Weshalb gilt \(P(A) \geq 0.5\) und \(P(B) \geq 0.5\)?   ─   hermionestranger 18.08.2020 um 16:08
Weil ja P(A\cap B)\leq P(A) und P(A\cap B)\leq P(B). Da P(A\cap B)=0.5 ist, müssen die beiden Wahrscheinlichkeiten also größer gleich 0.5 sein.   ─   benesalva 18.08.2020 um 16:12

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