Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Aufrufe: 815     Aktiv: 25.11.2020 um 13:52
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 Bei a) habe ich herausgefunden, dass die Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv, somit bijektiv ist. Dazu würde ich gerne wissen, ob ich damit richtig liege und wie ich dann die Bijektivität zeigen kann

und bei b) weiß ich bis jetzt, auch nur durch Hilfe vom Taschenrechner, wie die Funktion aussieht. Da interessiert mich außerdem konkret die linke Seite, also alles was in Klammern steht und was es genau in dem Fall bedeutet 

freue mich über dringend notwendige Hilfe :)

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Student, Punkte: 24

 
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Hey,

bei (a) hast du absolut recht. Die Funktion ist auf den vorgegebenen Intervallen Injektiv und Surjektiv. Für Bijektivität brauchst du auch gar nichts weiter zeigen, die beiden Eigenschaften implizieren das direkt.

Die Umkehrfunktion ermittelst du übrigens, in dem du nach x umstellst. Da du hier eine quadratische Gleichung hast, wirst du auf \( \pm \) stoßen, aber hier musst du dir anhand der Eigenschaften überlegen, welcher "Fall" gilt.

Bei (b) auf der linken Seite stehen die Intervalle, die du betrachtest. Du schaust also "nur" auf die x-Werte zwischen -1/2 und 1/2. Hinter dem Pfeil steht dein Bildbereich. Jetzt musst du untersuchen, ob die Funktion für alle x-Werte zwischen -1/2 und 1/2 injektiv ist. Für Surjektivität musst du überprüfen, ob für jedes y zwischen 2/3 und 2 ein x Wert existiert, so dass die Funktion darauf abbildet.

Ich hoffe das hilft dir weiter!

VG
Stefan

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M.Sc., Punkte: 6.68K

 
Super, vielen Dank für die detaillierte Antwort!
Wollte nur sichergehen ob ich richtige Lösungen rausbekommen habe: für die Umkehrfunktion habe ich herausbekommen, dass x kein Element der reellen Zahlen ist, da am Ende mit der a,b,c Formel eine negative Zahl unter der Wurzel übrig bleibt, stimmt das so? :)
Und bei b) habe ich wiederum bekommen, das es sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Stimmt das auch oder habe ich einen Fehler gemacht?   ─   rrmarina 24.11.2020 um 18:31
Du kannst da nicht die ABC Formel benutzen, weil du keine Nullstellen berechnest. Du kannst die Funktion aber umschreiben zu \( y = (x-2)^2 +4 \) (die Umkehrung der quadratischen Ergänzung). Das solltest du jetzt nach \( x \) umstellen können und bekommst damit deine Umkehrfunktion.

Bei (b) muss ich ehrlicherweise sagen, dass ich es jetzt nicht nachgerechnet habe :D   ─   el_stefano 25.11.2020 um 09:26
Wenn du vorher nachgewiesen hast, dass die Funktion bijektiv ist, also umkehrbar, dann würde es ja wenig Sinn machen, wenn bei der Berechnung keine Umkehrfunktion herauskommt.   ─   el_stefano 25.11.2020 um 09:34
Bei (b) habe ich mir nur mal die grafische Darstellung der Funktion angeschaut. Es ist zwar kein formeller Beweis, aber es sieht durchaus so aus, dass die Funktion injektiv und surjektiv ist. Von daher solltest du auch da recht haben!   ─   el_stefano 25.11.2020 um 09:38

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Auf Hinweis von elstefano habe ich das nochmal überdenken müssen!
Du hast recht ! a) ist in dem bezeichneten ID selbstverständlich bijektiv !
sorry !

<Also das solltest du nochmal überdenken! a) ist nicht injektiv und damit auch nicht bijektiv. Schau dir nochmal die Definitionen an. >

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Schau mal auf den Definitionsbereich, sollte doch eigentlich injektiv sein.   ─   el_stefano 24.11.2020 um 17:44
Kommando zurück ! Das habe ich übersehen ! Ich ändere die Antwort !   ─   markushasenb 24.11.2020 um 17:48
Habe mir schon Sorgen gemacht und macht nichts :)   ─   rrmarina 24.11.2020 um 18:01

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Der Funktionsterm in b) lässt sich stark vereinfachen:
Für x ungleich 1 gilt: \(  \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1} = \frac{1}{ x+1}\)

Damit dürften die gewünschten Untersuchungen kein Problem mehr sein.

 

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