Guten Morgen,
In deinem Beispiel wäre die Ableitung der oben genannten Funktion (3x0,25)^2-1
Also 0,75^2 -1
x steht oben für mal.
Im allgemeinen gilt, du ziehst den jetzigen Exponenten nach vorne, daher die (0,75) Beispiel die 3 und verrringerst den Exponenten um 1 ( daher der Exponen 2).
Machen wir deis nun auch mit -x was wir ja verständlicher weitse ausführilich als -1xX schreiben können so erhalten wir (1*-1)=-1 der Exponent von x bei nichtangebe 1 wurde nach vorne gezogen und der bisherige Exponent um 1 vermindert also ist dieser 0 und x fällt weg

ich hoffe ich konnte dir helfen wenn noch fragen gerne melden

Du suchst das, was man eine Stammfunktion nennt. Z.B. für $x^k$ ist das $\frac{x^{k+1}}{k+1}$. Das kannst Du durch Ableiten überprüfen. Und dann einfach merken, kommt öfter vor.
Und das mit "hinter dem x noch eine Zahl kommt": Da hast Du völlig recht, das kann man nie wissen. Man sagt auch Stammfunktionen sind bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt und schreibt symbolisch "+C" dahinter. Es gibt also kein eindeutiges $f$ zu Deinem $f'$. Z.B. schreibt man für die Stammfunktion von $x^k$ üblicherweise $\frac{x^{k+1}}{k+1}+C$, Zu $x^5$ ist also z.B. $\frac{x^6}6$, aber auch $\frac{x^6}6+2$ und $\frac{x^6}6-\sqrt2$ eine Stammfunktion.