Ich verstehe nicht ganz deine Rechnung. Du hast f(x) = \(x\cdot (x-1)\cdot (3-x)\) die Stammfunktion lautet F(x) = \(-\frac{x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+C\). Das steht dann da auch irgendwo. Dann hast du die richtigen Nullstellen \(x_1=0,x_2=1,x_3=3\), also Integralgrenzen 0 bis 3, du teilst das Integral auf. Du kannst aber auch direkt von 0 bis 3 machen, denn es gilt: \(\int_{0}^{3} dx = \int_{0}^{1} dx+\int_{1}^{3} dx\).

Dein Fehler ist dir unterlaufen bei dem Integral mit den Grenzen 1 bis 3. Du hast bei dem \(\frac{1}{4}\) das x vergessen und dementsprechend vergessen die Integralgrenzen dort einzusetzen.

Meine Lösung: \(\int_{0}^{3}x\cdot (x-1)\cdot (3-x) dx\) = \([-\frac{x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}]_0^3\) (du teilst das Integral auf, ich nicht) und \([-\frac{x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}]_0^3\) = ... einsetzen ... = \(\frac{9}{4}\)

Mit deiner Lösung wäre folgendes bei rausgekommen: \(\int_{0}^{1}x\cdot (x-1)\cdot (3-x) dx = -\frac{5}{12}\) und \(\int_{1}^{3}x\cdot (x-1)\cdot (3-x) dx = \frac{8}{3}\) und zusammen: \(\int_{0}^{1}x\cdot (x-1)\cdot (3-x) dx + \int_{1}^{3}x\cdot (x-1)\cdot (3-x) dx\)=\( -\frac{5}{12}+\frac{8}{3}\)=\(\frac{9}{4}\). :)