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Man kann hier das Taylorpolynom auch ganz einfach ohne Ableiten bestimmen.
Für \( \vert x \vert < 1 \) kann man \( f \) mithilfe der geometrischen Reihe ausdrücken. Dann ist nämlich
\( f(x) = \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n \)
Diese Darstellung entspricht der Taylorreihe von \( f \) mit Entwicklungsstelle \( x_0=0 \).
Das gewünschte Taylorpolynom \( T_4(x) \) besteht dann einfach aus den ersten fünf Gliedern der Reihenentwicklung, also \( T_4(x)=1+x+x^2+x^3+x^4 \).
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also wenn ich 1/1-x habe kann ich ganz normal weiter machen ohne etwas abzuleiten ? falls ja geht das nur bei der funktion oder gibt es da mehrere ?
─
hueki
30.01.2021 um 00:51
Wenn du zu einer Funktion eine Potenzreihendarstellung finden kannst, dann entspricht diese Darstellung immer der Taylorreihe (mit entsprechender Entwicklungsstelle). Und dann setzt sich das \(n\)-te Taylorpolynom (zur entsprechenden Entwicklungsstelle) einfach aus den ersten \(n+1\) Termen der Reihenentwicklung zusammen.
Das ist bei vielen Funktionen hilfreich. Vor allem dann, wenn man es mit zusammengesetzten Funktionen zu tun hat.
Beispielsweise lässt sich die Funktion \( f(x) = e^{-x^2} \) mithilfe der Potenzreihendarstellung der e-Funktion darstellen als \( f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-x^2)^n}{n!} = 1-x^2+\frac{x^4}{2} \pm \dots \) und somit hat das entsprechende Taylorpolynom \( T_3(x) \) vom Grad \( 3 \) mit Entwicklungsstelle \( x_0=0 \) die Funktionsgleichung \( T_3(x)=1-x^2 \). ─ 42 30.01.2021 um 01:13
Das ist bei vielen Funktionen hilfreich. Vor allem dann, wenn man es mit zusammengesetzten Funktionen zu tun hat.
Beispielsweise lässt sich die Funktion \( f(x) = e^{-x^2} \) mithilfe der Potenzreihendarstellung der e-Funktion darstellen als \( f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-x^2)^n}{n!} = 1-x^2+\frac{x^4}{2} \pm \dots \) und somit hat das entsprechende Taylorpolynom \( T_3(x) \) vom Grad \( 3 \) mit Entwicklungsstelle \( x_0=0 \) die Funktionsgleichung \( T_3(x)=1-x^2 \). ─ 42 30.01.2021 um 01:13
vielen dank hat mir weiter geholfen
─
hueki
30.01.2021 um 01:23
Freut mich, wenn ich helfen konnte :)
─
42
30.01.2021 um 01:30