Ich habe mal wieder eine alte Aufgabe aus meiner Mathevorlesung entdeckt bei der ich nicht zum gewünschten Ergebnis komme. Leider habe ich die Lösung auch nicht. Da habe ich wohl einen Mathevorlesung verpasst ;-) Bitte helft mir weiter.

 Aufgabe: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist nach k Würfen mit einem Würfel jede der Augenzahlen 1..6 mindestens einmal aufgetreten.

 Ich bin also davon ausgegangen, dass ich eine Formel p(k) = .... benötige.

 Nachdem ich mit Baumdiagrammen und Wahrscheinlichkeiten k= 6, 7, 8, 9 angegangen bin komme ich auf eine Berechnungsmethode die eher als Computerprogramm taugt, aber nicht zu einer Formel führt.

 Für die Zahl der möglichen Fälle ist die Berechnung einfach: \(M=6^k\)

Für die Zahl der günstigen Fälle habe ich für jedes k > 6 geschachtelte Summen gebildet die die Summen durch den Wahrscheinlichkeitsbaum abbilden. Der Startwert der inneren Summe hängt dabei vom aktuellen Index der äußeren Summe ab. Die so erhaltenen Pfade dann mit der Basis 6! = 720 multipliziert sollte dann die Zahl der günstigen Fälle abbilden.

 Beispiel k=7:

 \(G=\sum_{i=1}^{6} i\) Gibt dann 21 * 6! = 15120. k=7 kann man auch anders angehen. Man kann ja eine Ziffer als "doppelt" betrachten. Das führt dann zu \(\frac{7!}{2!}*6\)

*6 weil ja alle (1..6) einmal doppelt sein können. Gib auch 15120.

Jetzt wird's interessant - Beispiel k=8:

\(G=\sum_{i=1}^{6} (\sum_{j=i}^{6}i*j) =266\) Mit *6! haben wir dann 191520 günstige.

Zur Verdeutlichung noch k=9:

 \(G=\sum_{i=1}^{6} (\sum_{j=i}^{6}(\sum_{k=j}^{6}i*j*k)) =2646\)

Das sieht irgendwie aber gar nicht nach "Formel" aus. Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg? Gibt es eine einfachere, griffige Schreibweise?

 Gruß jobe