Habe ich die DIffernzierbarkeit richtig geprüft?

Erste Frage Aufrufe: 396     Aktiv: 24.04.2022 um 20:08
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Gegeben ist:


Ich will x=0 auf DIffernzierbarkeit prüfen dafür mache ich:

Dafür, dass sich die 0 von rechts angenähert wird:



Die x geht gegen 0, also hat man am Ende 1/x, wobei nicht ganz 0 ist. Weshalb  = unendlich ist

Und dann:
Dafür, dass sich die 0 von links angenähert wird:
=-unendlich ( da x von negativer Seite annähert )

Stimmt unendlich und - unendlich als Ergebnis oder habe ich mich verrechnet?

(Somit ist ja die 0 auch nicht differenzierbar)



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Zu deiner Aufgabe, du hast einen Denkfehler. Es ist $f(0)\neq 0$. Damit sieht dein Differentialquotient anders aus. Ändernde das mal ab vielleicht kommst du dann auf das richtige.   ─   maqu 24.04.2022 um 15:37
Danke, ich hab eeben nochmal geschaut, ich habe ja dann eigentlich stehen

e^x-1 / x, wenn ich mich von rechts annähere.

(e^x-1) / x ergibt ja 0 oder?   ─   ijhqdiu2 24.04.2022 um 16:06
Du möchtest doch sicherlich die Formel für den Differentialquotienten benutzen? Da steht $f(x)-f(x_0)$ im Zähler. Es ist die Differenzierbarkeit an der Stelle $x_0=0$ zu betrachten. Damit erhältst du $f(x_0)=f(0)=\ldots \neq 0$.   ─   maqu 24.04.2022 um 16:11
Genau, ich bekomme doch für f(x_0) = 1 raus, wenn ich micn von rechts annähere, somit habe ich doch stehen im Zähler:

e^x-1 oder?   ─   ijhqdiu2 24.04.2022 um 16:13
Richtig du hast aber in deiner Frage $e^x-0$ stehen, deswegen der Korrekturhinweis mit dem $f(x_0)$. Kommst du damit jetzt besser klar?   ─   maqu 24.04.2022 um 16:30
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Moin,
wie maqu schon geschrieben hat, ist dir da im Zähler ein Fehler unterlaufen. Der Grenzwert lautet \(\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{(x+1)^3-1}{x}\). Wenn du den kubischen Term ausmultiplizierst, kürzt sich die 1 raus, und du kannst den Grenzwert leicht ablesen. Der zweite Grenzwert lautet \(\lim\limits_{x\to0^+}{\frac{e^x-1}{x}}\). Hierfür kann man z.B. L'Hospital verwenden. 
Vergiss außerdem nicht, vorher auf Stetigkeit zu überprüfen, eine notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit.
LG
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Alternativ kannst du bei $\frac{e^x-1}{x}$ auch die Reihendarstellung für die Exponentialfunktion benutzen   ─   maqu 24.04.2022 um 17:04
Vielen Dank, klar mit Reihendarstellung wurde es doch machbar, aber wie bist Du drauf gekommen, wenn ich fragen darf?   ─   ijhqdiu2 24.04.2022 um 18:55
okay danke   ─   ijhqdiu2 24.04.2022 um 20:08

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