Beweis Mengenlehre

Aufrufe: 487     Aktiv: 06.03.2021 um 21:19
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Ich soll Beweisen, dass die Mächtigkeit einer Menge und ihrer Potenzmenge nie gleich ist.
|A| < |P(A)|

Nun verstehe ich folgenden Schritt nicht:

f: -> A -> P(A) 
B= {m ∈ A | m∉ f(m)}

Was bedeutet m ∉ f(m)? 
Verstehe ich das richtig, dass das heisst, dass m nicht in der Potenzmenge von A liegt? 
aber das würde ja keinen sinn machen. Ich möchte ja eigentlich zeigen, dass Die Abbildung nicht surjektiv ist und so müsste ich ja zeigen dass nicht jedes f(m) ein urbild hat. 
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Dadurch, dass \(B\) nur Elemente aus \(A\) enthält gilt \(B \subseteq A\) und somit auch \(B \in P(A)\). Nehmen wir nun an, dass \(f\) surjektiv ist, dann existiert ein \(x \in A\) mit \(f(x)=B\). Dies führt jedoch zum Widerspruch von der Definition von \(B\)
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Abet wo ist dann der widerspruch mit m∉ f(m)?
Oder bedeutet m∉ f(m) dass es gerade kein m geben kann s. d. f(m)=B   ─   sebii2 06.03.2021 um 18:15
Geh doch mal beide möglichen Fälle durch: 1. Wenn \(x\in B\), dann gilt auch \(x\in f(x)\), es gilt aber nach Definition von \(B\): \(x\not \in f(x)\). 2. Wenn \(x\not \in B\), dann gilt auch \(x\not \in f(x)\), demzufolge müsste jedoch \(x\in B\) gelten.   ─   mathejean 06.03.2021 um 18:33
Achso
Ich glaube es ist jetzt klarer geworden.
Noch eine Frage: Das f(x) bedeutet dass das x in einer Menge det Potenzmenge liegt?
Denn es wird ja die Menge A auf deren Potenzmenge abgebildet. Stimmt das?
Aufjedenfall vielen dank für deine Hilfe :)   ─   sebii2 06.03.2021 um 20:51
Die Abbildung ordnet jedem \(x \in A\) eine Teilmenge \(L\subseteq A\) zu. Wenn \(f\) surjektiv ist, muss es also zu jeder Teilmenge \(L \subseteq A\) ein \(x\in A\) geben. Hierbei konstruiert man nun geschickt eine Teilmenge von \(A\), sodass es ein solches \(x\in A\) nicht geben kann. Diese geschickte Teilmenge ist hier \(B\). Wie es zu dem Widerspruch kommt, wurde bereits geschrieben von mikn und mir.   ─   mathejean 06.03.2021 um 21:19

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