Banachraum

Aufrufe: 947     Aktiv: 11.06.2020 um 18:18
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Hallöchen 😊

Und zwar soll ich zeigen, dass der Raum c_0 aller reeller Nullfolgen mit der Supremumsnorm ein Banachraum ist. Davor haben wir aber schon gezeigt, dass der Raum c aller konvergenten reellen Folgen mit der Supremumsnorm ein BR ist und deswegen (das war der Tipp vom Übungsleiter) sollen wir eig nur zeigen, dass c_0 Unterraum von c ist. Eigentlich sollte das nicht so schwer sein, aber ich tu mich etwas schwer. Darf ich das bis dahin erstmal so übernehmrn?

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Student, Punkte: 86

 
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Unterraum heißt, dass die Summe von zwei Nullfolgen eine Nullfolge ist und dass jedes Vielfache einer Nullfolge eine Nullfolge ist.

Es reicht aber nicht zu zeigen, dass `c_0` ein Unterraum ist, man muss auch noch zeigen, dass `c_0` eine abgeschlossene Teilmenge des Raums aller konvergenten Folgen ist. Sonst weiß man zwar, dass jede Cauchyfolge konvergiert, aber nicht, dass der Grenzwert auch in `c_0` liegt.

Vermutlich ist es einfacher, den Beweis für den Raum aller konvergenten Folgen einfach nachzuahmen.

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Also das die Folge (b_n) eine Folge mit ||(b_n)|| = sup|b_n| die Norm existiert, ist klar. Das ist ja genauso wie bei a) zu zeigen. Nur mit der Vollständigkeit komm ich nicht ganz zu recht. Ich sehe nämlich nicht, an welcher Stelle der Beweis anders ist.   ─   karamellkatze 11.06.2020 um 17:48
Ich glaube nicht, dass der Beweis anders ist. Man muss nur am Schluss zeigen, dass die Folge, die man am Ende als Grenzwert bekommt, eine Nullfolge ist. Du weißt schon, dass sie konvergent ist, du musst nur zeigen, dass der Grenzwert 0 ist.   ─   digamma 11.06.2020 um 18:04
Aber wenn ich den Beweis genauso führe, dann hab ich am Ende ja auch gezeigt, dass jede Cauchyfolge konvergiert und c somit vollständig ist.
Warum ist es dann notwendig zu zeigen, dass der Grenzwert 0 ist?   ─   karamellkatze 11.06.2020 um 18:14
Weil der Grenzwert in c_0 liegen soll.   ─   digamma 11.06.2020 um 18:18

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