Hallo liebe LRM Community, Ich habe 3 Aufgaben der MIT für euch. Bei 2en davon habe ich eine Lösung und möchte Euch fragen, ob diese so in Ordnung sind und bei der dritten Frage habe ich leider keine Ahnung weil das auf einmal ein konkretes Rechenbeispiel ist und wir bisher nur theoretisch unterwegs waren. 1. Aufgabe: Seien X nicht-leer und F c E c P(X). Ausserdem lasse sich jedes Element B in E als abzählbare Vereinigung von Elementen aus F schreiben. Behauptung: Asigma(F) = Asigma(E) Lösung: Asigma(E) bedeutet, dass die Eigenschaften einer Sigma-Algebra erfüllt sind. Das heisst wenn A, B in E liegen, dann auch A -B und X - A, also das Komplement. Ausserdem noch, dass wenn wir eine Folge von Mengen Ai haben, die in E liegt, dass dann auch unendlicher Schnitt und unendliche Vereinigung dieser in E liegt. Nun können wir aber sowohl A, als auch B und die Ai jeweils als abzählbare Vereinigung von kleineren Mengen schreiben, die alle in F liegen. Mit diesen kann man jetzt die Bedingungen der Sigma Algebra genauso aufschreiben und hat Asigma(F) Wir wissen, dass Asigma(E) c Asigma(F), da jedes Element von E als abzählbare Vereinigung geschrieben werden kann und somit alle Elemente erfasst werden Wir wissen aber auch, dass Asigma(F) c Asigma(E), da nach Voraussetzung F c E ist. Und damit herrscht Gleichheit. Aufgabe 2: Sei (X, A, mhy) ein vollständiger Massraum. Weiter seien f,g: X -> R Funktionen. f sei A-messbar und es gelte f=g mhy-fast überall Behauptung: auch g ist A-messbar Lösung: Da f=g mhy-fast überall, sind die Stellen wo f=g uninteressant, da f schon A-messbar ist und man muss nur die restlichen Stellen beobachten. Da jedoch der Maßraum vollständig ist und da die Stellen mit f ungleich g das Maß 0 besitzen, liegen auch alle Stellen x in X mit f(x) ungleich g(x) wieder in A. Daraus folgt, dass für alle Elemente B in B(R) (also der sigma Algebra der Borelmengen von R) gilt, dass g^-1(B) in A liegt und das ist die Voraussetzung dafür, dass g A-messbar ist. Aufgabe 3: Die Funktionenfolge fn: [0,1] -> reelle Zahlen R mit n in den natürlichen Zahlen sei definiert durch fn(x) = (n+2)(n+1)(1-x)*x^n a) Berechnen Sie lim Integral(fn dmhyL) und Integral (lim fn dmhyL) (Also mhyL ist das Lebesque Maß) b) Existiert eine Lebesque-integrierbare Majorante für die Funktionenfolge fn? Begründen Sie Ich danke Euch im Voraus schon sehe für Eure Hilfe und Anmerkungen! Chris