Question

Kombinatorik - Auswahl

Aufrufe: 501 Aktiv: 16.02.2021 um 21:13

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Ich bin mir unsicher bezüglich der folgenden Aufgabe

Ansatz
Theoretisch gibt es ja von den insgesamt 25 Bücher, von denen 5 ausgewählt werden, die Grenze ist also (25 über 5) - die Reihenfolge spielt keine Rolle, die Bücher sind unterscheidbar, das wären 53 130 Möglichkeiten - sozusagen die Grenze, die alle möglichen Kombinationen erfasst.

Ähnliches Beispiel:

Das wäre ein ähliches Beispiel:
Wenn ich {1,2,3} als x definiere, {4 <= k <= 9} als * und den Rest als ~ dann hätte ich logischerweise folgende Möglichkeiten Kombinationen
***~~~
x***~~
xx***~
Und so hätte ich es kombiniert: d.h. ich habe (6 über 3) * (6 über 3) + (3 über 1) * (6 über 3) * (6 über 2) + (3 über 2) * (6 über 3) * (6 über 1 )
Ähnlich hätte ich es versucht für die Bücher zu lösen (andererseits könnte man es ja auch so deuten, dass z.B. 3 sowieso fix belegt ist)

Ansatz: (Bücher)
D.: Deutsch, E.: Englisch, F.: Französisch
Ich habe eine fixe Belegung DEF ~~~ (3 unbelegt) : EE, DD, FF, EF, ED, FD
=>(8 über 1) * (7 über 1) * (10 über 1) * (z.B. EE=> (7 über 2)) + ........ + (8 über 1) * (7 über 1) * (10 über 1) * ( 6 über 1) * (9 über 1) (für Französisch und Deutsch
Oder ich lasse (8 über 1) * (7 über 1) * (10 über 1) fix und lasse es bei der Kombination der nächsten Auswahl einfach aus, (dann würde aber die Lösung für das 2. Beispiel auch nicht stimmen, denn, was wird dann fix gelassen - unheimlich schwer zu verstehen meiner Meinung nach)

Vielen, vielen Dank schon mal :)

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gefragt 16.02.2021 um 18:00

infomarvin
Auszubildender, Punkte: 148

@infomarvin, du hattest Recht meine Lösung von vorher war falsch. Man zählt da einige Möglichkeiten doppelt. Deswegen habe ich die Antwort gelöscht. Da muss ich nochmal drüber nachdenken. ─ anonym42 16.02.2021 um 19:50

Na super, freu mich schon auf die Vorlesungsprüfung :D Ein Beispiel einer früheren :/ Wieso müssen die StudentInnen immer so gequält werden, v.a. Kombinatorik nervt :/ ─ infomarvin 16.02.2021 um 20:36

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1 Antwort

stal · Accepted Answer · 2021-02-16T21:13:29Z

Dein erster Ansatz mit $$\binom{10}1\binom81\binom71\binom72+\binom{10}1\binom81\binom71\binom92+\ldots,$$ wobei du die ersten drei Binomialkoeffizienten gleich lässt und dann mit allen Möglichkeiten multiplizierst, die letzten zwei Bücher auszuwählen, ist gut, aber nicht ganz richtig. Das Problem ist, dass du z.B. im ersten Summanden jede Möglichkeit 3-Mal zählst, da es unter fester Auswahl der Bücher EEEDF drei Möglichkeiten gibt, das erste englische zu wählen, das für $\binom{8}1$ verantwortlich ist. D.h. du müsstest dir bei jedem Summanden überlegen, wie viele Möglichkeiten du doppelt zählst und dadurch teilen, dann sollte es aber richtig sein.
Bei deinem zweiten Ansatz bin ich mir nicht sicher, was du meinst. Willst du $$\binom{10}1\binom81\binom81\left[\binom72+\binom92+\ldots\right]$$ rechnen? Das wäre äquivalent zu deinem ersten Ansatz, nur ausgeklammert und hat deshalb das selbe Problem.

Am einfachsten geht es (glaube ich) so: Überlege dir alle möglichen Sprachenverteilungen: DDDEF,DDEEF,DDEFF,DEEEF,DEEFF,DEFFF und berechne für jeden die Möglichkeiten einfach mit Binomialkoeffizienten, also z.B. für DDDEF $\binom{10}3\binom81\binom71$ und summiere dann alles. So läufst du keine Gefahr, irgendetwas doppelt zu zählen. Das ist ja im Prinzip das gleiche Verfahren, das du auch (korrekt) bei den Zahlen-Teilmengen verwendet hast.