Zu zeigen ist $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{ (x+1)^{ \alpha } -1}{ x } } = \alpha $.

Es gilt $ \lim\limits_{x \to 0} (x+1)^{ \alpha} -1 = 0$  und  $ \lim\limits_{x \to 0} x = 0$.

Nach der Regel von l’Hospital folgt also

$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{ (x+1)^{ \alpha } -1}{ x } } = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{ ((x+1)^{ \alpha } -1)'}{ x' } } 
= \lim\limits_{x \to 0}{\frac{ \alpha (x+1)^{ \alpha - 1 }}{ 1 } } =  \lim\limits_{x \to 0} \alpha (x+1)^{ \alpha - 1} = \alpha $
                                                                                                                                    $\Box$