Darstellende Matrix wenn nicht Standard-Basis

Aufrufe: 546     Aktiv: 24.03.2022 um 19:54
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Ich möchte von einer linearen Abbildung eine darstellende Matrix bestimmen, aber nicht von der Standard-Basis, sondern einer beliebig anderen des VR.

Wie gehe ich da vor?

Für die Standard-Basis lese ich die Matrix ja einfach ab oder setze die Einheitsvektoren nach einander in die Abbildung ein.
Geht das für eine beleibige Basis dann auch so, dass ich einfach die Vektoren der Basis anstatt der Einheitsvektoren einsetze?

Vielen Dank und noch einen schönen Abend!
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2 Antworten
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Moin,
die Matrixdarstellung von Basis B mit \(b_1,b_2,....b_n\) nach Basis C mit \(c_1,c_2,...,c_m\) einer linearen Abbildung f lautet \(\begin{pmatrix}
f(b_1)_c & f(b_2)_c&... &f(b_n)_c\end{pmatrix}\), wobei \(f(b_i)_c\) die Koordinatendarstellung von \(f(b_i)\) bezüglich der Basis C ist. Jede Darstellungsmatrix dieser Form hat also m Zeilen und n Spalten. Siehe auch für Beispiele:https://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix
LG
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Student, Punkte: 3.84K

 
Danke!   ─   garrett 24.03.2022 um 19:37

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Ja, die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der Basisvektoren. Eventuell willst/musst du aber noch die Bilder bezüglich einer anderen Basis darstellen. Bei Endomorphismen ändert man meist die Basis im Start- und Zielraum.
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Student, Punkte: 10.87K

 
Ok, danke. Steht das dann in der Aufgabenstellung oder woher weiß ich, dass die Bilder noch anders darstellen muss?
Dafür müsste ich ja dann einfach eine Basistransformation durchführen (also einfach Abbildungsmatritzen multiplizieren).   ─   garrett 24.03.2022 um 19:37
Für einen Endomorphismus, also eine Abbildung der Form \(f: V \to V\) musst du eigentlich immer Basis im Start- und Zielraum ändern. Hast du allerdings eine Abbildung \(f:V\to W\) mit \(V\not =W\) folgt dies aus der Aufgabe insofern, dass hier dann konkret eine Basis für \(V\) und \(W\) angegeben wird.   ─   mathejean 24.03.2022 um 19:54

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