Matrix - Eigenwerte

Aufrufe: 434     Aktiv: 17.04.2023 um 22:35
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Hallo,
Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe im Themenbereich lineare Algebra: Gegeben ist folgende 3x3 Matrix mit dem parameter b
3 4 1
1 6 1
1 1 b
Nun ist die Frage, für welche Werte von b (Element R) alle Eigenwerte der Matrix positiv sind? Wie geht man bei der Aufgabe vor?
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Man fängt an, was auszuprobieren. Hier - was sonst? - charakteristisches Polynom ausrechnen. Eine Nullstelle kann man raten, danach geht's weiter mit einer quadratischen Gleichung, also ist man in überschaubaren Gefilden.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.05K

 
Das b kommt so oft vor, Ich weiss nicht wie ich die Nullstellen ausrechnen soll mit dem b überall dran. Das kann man doch nicht einfach ignorieren.   ─   user4ebf72 16.04.2023 um 22:44
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Ich hab heute keine Zeit für eine lange Session und bitte Dich dringlichst, diesmal gleich meine Tipps zu lesen und Dich daran zu halten und Dich bei Rückfragen/Problemen konkret darauf zu beziehen.
Also, es geht weiter, wenn Du das char. Polynom hast. Wie lautet es?   ─   mikn 16.04.2023 um 22:55
l=lambda

(3-l)(6-l)(b-l)-(6-l)-(3-l)-4(b-l)+5
Wie kommt man nun auf eine Nullstelle?   ─   user4ebf72 16.04.2023 um 23:02
Erstmal bringe das Polynom auf die Standardform und verwende keine Buchstaben, die wie eine 1 aussehen. Besser x.
Deine Frage ist in meiner Antwort oben beantwortet. Lies die Tipps!!!
   ─   mikn 16.04.2023 um 23:09
x=lambda
-x^3+x^2(9+b)+x(-9b-12)+14b-4
Ich lese deine Nachrichten immer mit Bedacht, nur ist es mir nicht möglich, eine Nullstelle zu erraten.   ─   user4ebf72 16.04.2023 um 23:31
Dann sag das bitte (so wie jetzt) und stell nicht die gleiche Frage nochmal (das legt mir nämlich nahe, dass Du es nicht gelesen hast). Und sag vor allem, warum es Dir nicht möglich ist und was Du probiert hast.
Zum Raten kannst Du auch die vorige Form des char. Polynoms benutzen (Geschmackssache), für das weitere brauchst Du aber diese Standardform. Das Polynom ist richtig (in beiden Varianten).
Überlege, wie Du bisher Nullstellen von Polynomen vom Grad 3 gefunden hast.   ─   mikn 16.04.2023 um 23:41
Normalerweise habe ich kein 14b-4 zusätzlich da stehen sondern das polynom=0
Ich würde einfach versuchen werte von -3 bis +3 einzusetzen, da da meistens eine Nullstelle dabei ist. Das 14b verwirrt mich.   ─   user4ebf72 16.04.2023 um 23:47
Ok, also mach das, was Du sonst auch machen würdest.   ─   mikn 16.04.2023 um 23:49
Eine Nullstelle ist 2 daraus folgt X^2+x(-7-b)-2+7b=0
x1/2 auszurechnen klappt bei mir nicht, ist das soweit korrekt?   ─   user4ebf72 17.04.2023 um 00:03
Ja, stimmt. Und jetzt pq-Formel.   ─   mikn 17.04.2023 um 00:08
in der Wurzel der pq formel kommt bei mir (57-42b+b^2)/(4) heraus. Das kann nicht stimmen, jedoch weiss ich nicht, was ich falsch gemacht hab.   ─   user4ebf72 17.04.2023 um 00:14
Das passiert häufig bei der pq-Formel, deshalb verwende ich selbst die nie (wirklich nie), sondern quadratische Ergänzung. Wenn Du es korrigiert hast, überlege dann, welche der beiden Nullstellen die kleinere ist. Für die Aufgabe reicht es, wenn die kleinere $> 0$ ist.   ─   mikn 17.04.2023 um 00:20
Ich komme nicht auf die beiden Nullstellen.   ─   user4ebf72 17.04.2023 um 00:30
Der Ausdruck oben unter der Wurzel stimmt nicht, aber Du sagst auch nicht, woher Du weißt, dass es nicht stimmt und was Dein Problem ist. Du wirst das schon irgendwie hinkriegen. Morgen geht's weiter.   ─   mikn 17.04.2023 um 00:46
Die 7b unter der Wurzel stimmt nicht. Schreib auf: p=..., q=... und setze ein. Wo ist das Problem?
Was Du falsch machst? Zum wiederholten Mal fragst Du was ("wie geht's weiter?"), dabei hab ich das oben geschrieben. Nochmal: LIES DIE TIPPS!!!
Auch zum wiederholten Mal: Wenn Du sie gelesen hast, aber damit nicht klar kommst, frag konkret.   ─   mikn 17.04.2023 um 13:31
x2=4+b
x3=3
Die kleinere Nullstelle ist 3. Wie lautet nun das weitere Vorgehen? Kommt man über die Spur der Matrix zum Ziel?   ─   user4ebf72 17.04.2023 um 19:17
Keine Ahnung, was Du da machst. Ich hab keine weiteren Tipps als die bereits gegebenen.   ─   mikn 17.04.2023 um 19:21
x2=(7+b)/(2) + sqrt(b^2-14b+57)/(2)
x3=(7+b)/(2) - sqrt(b^2-14b+57)/(2)   ─   user4ebf72 17.04.2023 um 19:33
Jetzt stimmt es. Übrigens brauchen die 2en im Nenner keine Klammer.   ─   mikn 17.04.2023 um 19:42
offenbar ist x3 kleiner. Ich habe jetzt alle eigenwerte ausgerechnet und x2 und x3 hängen von b ab. Ich weiss dass die Spur einer Matrix die Summe der EW ist und die Det das Produkt der EW. Somit muss die Spur größer 0 sein daraus folgt b muss größer als -9 sein, was auch klar ist. Nun stelle ich mir die Frage, warum es relevant ist, welche Nullstelle kleiner ist.   ─   user4ebf72 17.04.2023 um 21:14
Wenn die kleinste Nullstelle positiv ist, sinds auch die restlichen. Über die Spur kommst du nicht weiter, denn -1+0+2 ist bspw. auch positiv, aber alle drei Summanden sinds nicht.   ─   cauchy 17.04.2023 um 21:26
Woher weiss man, dass wenn die kleinste Nullstelle positiv ist, das es die anderen auch sind?
   ─   user4ebf72 17.04.2023 um 21:28
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Das überleg mal selbst.   ─   cauchy 17.04.2023 um 21:31
Ich habe als Ergebnis dass b größer als 2/7 sein muss. Ist das korrekt?   ─   user4ebf72 17.04.2023 um 21:56
Ja.   ─   mikn 17.04.2023 um 22:18
Vielen Dank euch!   ─   user4ebf72 17.04.2023 um 22:35

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Hier mal ein weiterer Ansatz, für den man nicht so viel über Polynome wissen muss und sich viel Algebra spart, was eine sehr große Fehlerquelle ist. Ich rechne hier dennoch vor, da dieser Ansatz meiner Meinung nach elegant ist, aber sehr lange zum detaillierten erklären bräuchte. Ich bitte auch den Fragy, das nochmal nachzurechenn und zu schauen, ob er die Aussagen in seinem Skript so findet, da es auch schon spät ist und ich da auch Fehler mache. Die Lösung von @mikn ist definitiv deutlich systematischer und elementarer als meine und daher auch meiner vorzuziehen.

Ein Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ist genau dann positiv definit, wenn $\frac{1}{2}(A+A^T)$ positiv definit ist. 

Nun ist die Matrix $\frac{1}{2}(A+A^T)$ symmetrisch und wir können das Hurwitz/Sylvester/Minorantenkriterium anwenden. Wir berechnen nun zunächst 

$$\frac{1}{2}(A+A^T)=\begin{pmatrix} 3 & \frac{5}{2}  & 1 \\  \frac{5}{2} & 6 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{pmatrix} $$.

Die Haupminoren sind somit 

$$\Delta_1=3 >0 \\ \Delta_2=3 \cdot 6 - (\frac{5}{2})^2 >0  \\ \Delta_3=\frac{47 b}{4}-4.$$

Jetzt brauchen wir nur noch $\frac{47b}{4}-4 >0$ damit alle Hauptminoren positive sind und somit auch $\frac{1}{2}(A+A^T)$ positiv definit ist. Damit sind auch alle (reelen) Eigenwerte von $A$ positiv.

 

PS: Falls die Matrix symmetrisch wäre, wäre die Aufgabe deutlich einfacher. Falls also ein Typo vorliegt :D

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Alternative Lösungsansätze (vor allem, wenn diese elegant sind) vorzustellen, finde ich durchaus gut. Diese im Detail vorzurechnen allerdings nicht. Hier hätten die Aussagen über die Definitheit und das Hurwitz-Kriterium ausgereicht. Nachrechnen kann das Fragy ja dann selbst, sofern die Aussagen auf der (oder einer anderen) Vorlesung bekannt sind. Lerneffekt und so.   ─   cauchy 17.04.2023 um 01:02
Habe deswegen ja auch einen fetten disclaimer davor gepackt, dass der Lösungsansatz ihm/ihr evtl. nix bringt, da dieser nicht Teil des Skriptes vom Fragy ist. Beide Kriterien, das Symmetrisierungs und Hurwitzkriterium, sind nicht Teil eines jeden Kurses und deshalb habe ich es vorgerechnet der Vollständigkeit halber,habe aber auch Zwischenschritte ausgelassen. Ist eine schmale Gradwanderung hier meiner Meinung nach, aber deswegen habe ich ja auch nochmal explizit auf die andere Antwort verwiesen.
  ─   crystalmath 17.04.2023 um 01:08
Ich denke, von Studenten darf man ruhig erwarten, dass sie Aufgaben mit gegebenen Ansätzen selbst nachrechnen können. Auch das Durchsuchen des Skriptes nach entsprechenden Resultaten kann man verlangen. Es ist ja leider eine Seltenheit auf dieser Plattform, dass die Leute das hinbekommen, womit man sich meines Erachtens gleich für ein Studium disqualifiziert. Ich finde das darf und sollte man den Leuten auch ruhig vor Augen führen, denn der Anteil am Selbststudium wird einfach dermaßen unterschätzt.   ─   cauchy 17.04.2023 um 01:16
Interessant - ich sehe es genau andersrum. Einem Studenten darf man schon eine volle Lösung geben, aber es liegt in dessen Verantwortung, das Beste daraus zu machen und es selbstständig und vollständig nachzuvollziehen. Falls man es sowieso nur für eine Prüfung lernt, ist man dort am Ende auch nur auf sich und das eigene Verständnis gestellt - und wer das nicht versteht, mit dem habe ich dann auch kein Mitleid mehr. Bei einem Schüler würde ich vom Schlimmsten ausgehen - copypaste und weiter.   ─   crystalmath 17.04.2023 um 01:28
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Das Arbeiten mit Musterlösungen schmälert den Lerneffekt, wie man hier auf der Plattform schon häufig genug beobachten konnte. Durch das eigene Ausprobieren und der Auseinandersetzung mit Aufgaben bleibt am Ende viel mehr hängen. Das zeigt sich nicht nur hier, sondern auch immer wieder bei Studenten, die ihre Hausaufgaben weitgehend selbstständig bearbeiten. Diese schneiden in der Regel deutlich besser in Klausuren ab, als jene, die sich nur mit Musterlösungen beschäftigen.

Auch fallen Klausuren, denen eine Zulassungsvoraussetzung in Form von Hausaufgaben zugrunde liegt im Allgemeinen besser aus als Klausuren, die man ohne weitere Bearbeitung von Übungsaufgaben schreiben darf. Daraus lässt sich schließen, dass die Auseinandersetzung mit dem Thema in Form von selbstständiger Bearbeitung geeigneter Übungsaufgaben einen wesentlichen positiven Einfluss auf das Klausurergebnis hat.

In meinen Augen ist es genau das, wofür diese Plattform hier steht und was wir den Fragys hier mit auf den Weg geben sollten. :)   ─   cauchy 17.04.2023 um 02:11
Ich habe X2,3= (7+b)/2 +- Sqrt(((49+b^2)/(4)+2-7b)
Was mache ich hier falsch? Oder wie rechne ich weiter?   ─   user4ebf72 17.04.2023 um 12:22
@user4ebf72 Ich habe diesen Ansatz nicht durchgerechnet, da dies der Vorschlag von @mikn war. Unter der anderen Antwort hast du einen bessere Chance, dass man dir weiterhilft ;-)   ─   crystalmath 17.04.2023 um 12:27
Das was du geschrieben hast, darf ich leider nicht verwenden, da nicht Teil der Vorlesung. Aber trotzdem danke für deine Hilfe!   ─   user4ebf72 17.04.2023 um 12:29
Lade deine Rechnung hoch, dann kann man schauen, wo du etwas falsch gemacht hast.   ─   cauchy 17.04.2023 um 12:45

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