Für \(n = 1\) gilt offentsichtlich die Induktionsannahme, da 

\(\sum_{k=0}^1 \binom{1}{k}(-1)^k =   \binom{1}{0}(-1)^0 + \binom{1}{1}(-1)^1 = 1 -1 = 0\)  ist.

Angenommen für ein \(n = i\) gilt die Induktionsannahme, so gilt für \(n = i+1\):

\begin{align*} \sum_{k=0}^{i+1} \binom{i+1}{k}(-1)^k =\\ \sum_{k=}^{i+1} \binom{i+1}{k}(-1)^k = \\  (\binom{i+1}{0}(-1)^0 + (\sum_{k =1}^i \binom{i}{k}(-1)^k) + (\sum_{k = 1}^{i} \binom{i}{k-1}(-1)^k  + \binom{i+1}{k+1}(-1)^{k+1} ) \ \end{align*}

Da \(\binom{i+1}{0}  = \binom{i}{0} = \binom{i}{i} = \binom{i+1}{i+1} = 1\) ist, können wir den letzten Term umschreiben als

\begin{align*}  \sum_ {k = 0}^{i} \binom{n}{k}(-1)^k + \sum_{k = 0}^i \binom{n}{k}(-1)^k = 0 + 0 = 0\end{align*}.

Dadurch hat man die Induktionsannahme bewiesen und mit dem Induktionsanfang (\(n = 1\)), die ganze Behauptung.

An sich könnte man die Behautung auch einfacher beweisen, wenn man unter Betrachtung zieht, dass \( \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k}(-1)^k = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}1^{(n-k)}(-1)^k = (1-1)^n  = 0^n = 0\) ist.