Hallo, wir mussten als Übung folgendes Beispiel lösen (erstes Semester Uni Physik):

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Es sei folgende Teilmenge der reellen Zahlen R gegeben:

A = ℚ + ℚ√(2) = {a + b √ 2 | a, b ∈ ℚ} 

Bildet diese Teilmenge mit der üblichen Addition und Multiplikation einen Körper?  Begründe.
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Meine Antwort war dann, dass es für Addition alles erfüllt, für Multiplikation alles außer das multiplikative Inverse. -> Kein Körper.

Meine Begründung: Wurzel(2) ist eine irrationale Zahl, b ist eine rationale Zahl, also egal was ich mache, ich würde Wurzel(2) nie unter den Bruchstrich bekommen, also nie ein multiplikatives Invers finden.


Die "Lösung" war aber, dass die Teilmenge schon ein Körper ist, weil

1/(a + b √ 2) * (a + b √ 2) = 1

Aber müsste "1/(a + b √ 2)" nicht durch "(a + b √ 2)" ausgedrückt werden können, um überhaupt in der Teilmenge zu sein? Und es kann doch nicht durch "(a + b √ 2)" ausgedrückt werden, oder? Weil man die Wurzel 2 nie unter den Bruchstrich bekommt?


Ich hoffe ich habe mich nicht zu verwirrend ausgedrückt, vielen Dank schon mal für etwaige Antworten. :)