Eine Untergruppe muss ja immer Teilmenge sein und gleichzeitig abgeschlossen unter Verkettung bzw Inversenbildung.

Wenn man sich nun ein Element \(a \in Sym(Q_2) \) hernimmt, muss dieses eine Untergruppe \(\langle a \rangle \subset Sym(Q_2) \)erzeugen, die die Gruppenordnung \(|Sym(Q_2)| \) teilt (Satz von Lagrange),  i.e. \( |\langle a \rangle| \text{ } | \text{ } |Sym(Q_2)| \). Dabei können wir erkennen, dass schon \( \langle a \rangle = \{ a, a \circ a, a \circ a \circ a, a \circ a \circ a \circ a, ...\} \) gilt. Das liegt an der Endlichkeit von \(\langle a \rangle \) weil es ja in jedem Falle eine Untergruppe von \(Sym(Q_2) \) sein muss und damit insbesondere eine Untermenge sein muss.

Wie du nun also anfangen kannst die Untergruppen zu bestimmen (abseits von der trivialen Untergruppe \(\{id\}\) ) ist es Erzeugnisse von einzelnen Elementen aus \(Sym(Q_2)\) anzuschauen. Wenn wir also zum Beispiel das Symmetrieelement das das Quadrat um 90° Grad im Uhrzeigersinn dreht für den Moment mal mit \(d_{90}\) bezeichnen, erhalten wir (anschaulich klar) \( \langle d_{90} \rangle =  \{ id, d_{90}, d_{90}^2, d_{90}^3 \} \) da wir ja nach dem vierten Mal anwenden von \(d_{90}\) wieder am Anfang sind und damit effektiv nichts gemacht haben (i.e. wir erhalten \(id\)). So erhältst du also eine der vierelementigen UGs

Dieses Prinzip kannst du auch auf die anderen einzelnen Elemente von \(Sym(Q_2) \) arbeiten. Denk dabei daran, dass zum Beispiel die 180°-Grad-im-Uhrzeigersinn-Drehung eine kleinere UG erzeugen würde! Um sicherzugehen, dass du alles richtig gemacht hast, kannst du immer überprüfen ob deine UG Ordnungen die Ordnung von \(Sym(Q_2) \) teilen (was ja nach Lagrange immer gelten muss).

Nachdem du all diese simplen UGs gebildet hast, kannst du damit fortfahren, die Erzeugnisse von mehreren Elementen anzuschauen (z.B. \(\langle d_{90}, s_{y} \rangle \) wenn wir mal annehmen, dass \(s_{y}\) die Spiegelung vom Quadrat an der y-Achse bezeichnet - hierbei nehmen wir auch an, dass sich das Quadrat im Ursprung befindet, ie \(Q_2 = \{-1,1\}^2\)). 

Um hierbei den Überblick zu behalten, lohnt es sich ein Untergruppengitter aufzumalen und aussagekräftige Namen für die Symmetrieelemente zu wählen.